Prof. Bruno Leal Resolve - LVI - Diversas questões da ESA

01.  (ESA/2009)  Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000?

Solução:  A quantidade de termos de uma sequencia é dada por Q = (L – l) : “pulos” + 1, sendo L o maior termo da sequencia e l, o menor.  Vamos por partes:

1º)  O menor múltiplo de 9 no intervalo é o 108 e o maior, 999.  Como os múltiplos de 9 se sucedem de 9 em 9, temos:  Q = (999 – 108) : 9 + 1 → Q = 100;

2º)  O menor múltiplo de 15 no intervalo é o 105 e o maior, 990.  Como os múltiplos de 15 se sucedem de 15 em 15, temos:  Q = (990 – 105) : 15 + 1 → Q = 60;

3º)  Não se esqueça que os MÚLTIPLOS COMUNS a 9 e 15 são contados DUAS VEZES.  Ou seja, precisamos descartar uma das vezes que os múltiplos de 45 aparecem, sendo 45 = mmc(9,15).

O menor múltiplo de 45 no intervalo é o 135 e o maior, 990 e ao todo apareceram Q = (990 – 135) : 45 + 1 → Q = 20;

Logo, há 100 + 60 – 20 = 140 múltiplos de 9 ou de 15 no intervalo proposto.

02.  (ESA/2009)  Uma loja de eletrodomésticos paga, pela aquisição de certo produto, o correspondente ao preço x (em reais) de fabricação, mais 5 % de imposto e 3 % de frete, ambos os percentuais calculados sobre o preço x. Vende esse produto ao consumidor por R$ 54,00, com lucro de 25 %. Então, o valor de x é:

Solução:  O preço de compra do produto é x, que representa 100% de si mesmo.  Já o preço de custo é 108% . x, pois foram adicionados os 5% de imposto e 3% de frete.  Chamemos esse valor de y.

Logo, 125% . y = 54 → 1,25 y = 54 → y = 43,20.

Como y = 108% . x, vem:  1,08 . x = 43,20  →  x = 40 reais.

03.  (ESA/2008)  Se decompusermos em fatores primos o produto dos números naturais de 1 a 200 e escrevermos os fatores comuns em uma única base, o expoente do fator 5 será:

Solução:  O fator primo 5 aparece 200 : 5 = 40 vezes.  Já o fator 5² = 25 aparece 200 : 25 = 8 vezes e o fator 5³ = 125 aparece 200 : 125 = 1 vez.  Logo, ao todo, a base 5 aparece 40 + 8 + 1 = 49 vezes, sendo esta a resposta.

04.  (ESA/2008)  Em uma unidade do Exército, a soma do efetivo formado por soldados e cabos é 65.  Em um determinado dia, 15 soldados não compareceram ao expediente.  Em consequência dessas faltas, o efetivo de cabos ficou igual ao efetivo de soldados presentes naquele dia.  Qual é o mínimo comum entre o número total de soldados e cabos desta unidade militar?

Solução:  1º)  s + c = 65

2º)  s – 15 = c → s = c + 15

Substituindo na primeira equação, temos:  c + 15 + c = 65 → 2c = 65 – 15 → 2c = 50 → c = 25.

Logo, s – 15 = 25 → s = 25 + 15 → s = 40 e o mmc(25,40) = 200.

05.  (ESA/2008)  Em uma determinada loja, uma televisão custa R$ 750,00 à vista.  Se for paga em 5 prestações mensais, o valor da televisão passará a custar R$ 900,00.  Nestas condições, qual seria a taxa de juros simples mensal cobrada pela loja?

Solução:  Os juros perfizeram 900 – 750 = 150 ao longo dos 5 meses, ou seja, 150 : 5 = 30 reais por mês.  Logo, a taxa de juros é igual a 30 / 750 = 0,04 ou 4% a.m.

06.  (ESA/2008)  Um pedreiro verificou que para transportar 180 tijolos usando um carrinho de mão, levando sempre a mesma quantidade de tijolos, precisaria dar x viagens.  Se ele levasse 3 tijolos a menos a menos em cada viagem, precisaria fazer mais duas viagens.  A soma dos algarismos do número x é:

Solução:  Se o pedreiro levar t tijolos, precisará dar x viagens.  Podemos escrever que t . x = 180.  Levando (t – 3) tijolos em cada viagem, precisará de (x + 2) viagens.  Também podemos escrever que (t – 3)(x + 2) = 180.

Como t e x são inteiros positivos, ambos são DIVISORES de 180.  Note que 18 . 10 = (18 – 3)(10 + 2) = 180, ou seja, t = 18 e x = 10, sendo 1 + 0 = 1 a soma de seus algarismos.

07.  (ESA/2007)  50 operários deveriam fazer uma obra em 60 dias.  15 dias após o início do serviço, são contratados mais 25 operários para ajudar na construção.  Em quantos dias ficará pronto o restante da obra?

Solução:  Trata-se de uma regra de três simples e inversa, pois, quanto mais operários houver na obra, em menos tempo ela fica pronta.

operários        dias

50                    45 (não se esqueça que já se passaram 15 dias)

75                    x

75x = 50 . 45 → x = 30 dias.

08.  (ESA/2007)  Um trabalhador gasta 5 horas para limpar um terreno circular de 8 m de raio.  Ele cobra R$ 4,00 por hora de trabalho.  Para limpar um terreno circular de 24 m de raio, o trabalhador cobrará, em reais:

Solução:  A área do primeiro terreno é de  . 8² = 64  m² e a do segundo,  . 24² = 576  m².  Logo, o segundo terreno é 576 : 64 = 9 vezes maior que o primeiro.  Daí, o trabalhador precisará de 9 x 5 = 45 horas de trabalho e por elas cobrará 45 x 4 = 180 reais.

09.  (ESA/2007)  Uma indústria importa vinho estrangeiro em 20 barris de 160 litros cada e vai engarrafá-lo em recipientes que contêm 0,80 dm³ cada.  A quantidade total de recipientes de vinho será:

Solução:  Lembrando que 1 dm³  1 litro, temos:  20 x 160 = 3200 litros → 3200 : 0,8 = 4000 recipientes.

10.  (ESA/2007)  O maior numero pelo qual se deve dividir 243 e 391 para obter respectivamente os 3 e 7 é “x”.  Pode-se afirmar que o algarismo das dezenas de “x” é igual a:

Solução:  Subtraindo os restos dos respectivos dividendos, passaremos a ter divisões exatas.  Assim, 240 e 384 são ambos divisíveis por x.  Sendo x o maior possível, este é o mdc(240, 384) = 48, sendo o 4 o algarismo das dezenas.

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