Dica do Dia # 03: Potências

Dica do Dia: Sistemas do Primeiro Grau

Prof. Bruno Leal Resolve - CXII - Problemas do Primeiro Grau

Nessa postagem, vou apresentar-lhes alguns problemas que são resolvidos através de equações ou sistemas de equações do primeiro grau um pouco mais difíceis do que os usualmente abordados nos cursinhos e colégios, sempre parecidos entre si.  Espero que gostem, bons estudos!

01)  Às cinco horas da tarde da última sexta-feira, uma em cada três salas de aula da Universidade Leal estava vazia.  Se em 68 salas havia aulas, o total de salas de aula da Universidade é:

Solução:  Num conjunto de 3 salas, uma estava vazia e 2, cheias.  Logo, sendo x o total de salas, podemos escrever que 2x/3 = 68 → 2x = 204 → x = 102.

GABARITO:  102

02)  Comprei duas caixas de morangos.  Na primeira caixa, um quarto dos morangos estavam estragados.  Na segunda caixa, que continha um morango a mais do que a primeira, somente um quinto dos morangos estavam estragados.  Se no total 69 morangos estavam bons, o total de morangos estragados era:

Solução:  1)  Primeira caixa → total:  x morangos, sendo x/4 estragados e 3x/4 bons;

2)  Segunda caixa → total:  x + 1 morangos, sendo (x + 1)/5 estragados e 4(x + 1)/5 bons;

3)  Ao todo, 69 morangos bons:  3x/4 + (4x + 4)/5 = 69 →  15x + 16x + 16 = 1380 → 31x = 1364 → x = 44;

4)  Logo, havia 44/4 + (44 + 1)/5 = 11 + 9 = 20 morangos estragados.

GABARITO:  20

03)  A carga do telefone celular de Gustavo é suficiente para 9 h em stand-by ou 1,5 h em ligações.  Se o telefone dele descarregou em 8 h, ele esteve em ligações durante quantos minutos?

Solução:  1)  A carga em stand-by dura 6 vezes mais do que em ligações, haja vista que 9 : 1,5 = 6;

2)  Se o telefone esteve em ligações durante x minutos, a bateria poderia ainda ter durado (90 – x) min fazendo ligações.  Note que 1,5 h = 90 minutos;

3)  Esse tempo, 90 – x minutos, corresponde ao tempo em que o telefone na verdade ficou em stand-by.  Portanto, ao ficar em stand-by, o tempo de duração da bateria é multiplicado por 6, conforme vimos no primeiro passo;

4)  Lembrando que 8 h = 480 min,  podemos escrever que x + 6(90 – x) = 480 →
x + 540 – 6x = 480 →  60 = 5x  →  12 = x.

GABARITO:  12 min

04)  Ao término de 1994, Augusto possuía a metade da idade de sua avó.  Sabendo que a soma dos anos em que eles nasceram é 3838, quantos anos possuirá Augusto em 2016?

Solução:  Sendo x a idade de Augusto em 1994, isso significa que ele nasceu no ano (1994 – x).

Da mesma forma, sendo 2x a idade da avó dele em 1994 (Augusto possuía a metade da idade da avó naquele ano), ela nasceu no ano (1994 – 2x).

Podemos escrever que 1994 – x + 1994 – 2x = 3838 → 150 = 3x → 50 = x.

Logo, em 2016, Augusto terá 50 + 22 = 72 anos.

GABARITO:  72

05)  Um agricultor, trabalhando sozinho, capina um certo terreno em 10 h.  Sua esposa, trabalhando sozinha, capina o mesmo terreno em 12 h.  Após o agricultor e sua esposa capinarem o terreno durante 1 h, recebem a ajuda de sua filha e então os três terminam de capinar o terreno em 3 h.  O número de horas necessárias para que a filha sozinha capine o terreno é igual a:

Solução:  Esse exercício é uma variação do famoso “Problema das Torneiras”, que tanto cai nas mais diversas provas de concursos.  O ideal nesse tipo de problema é sabermos o que acontece no chamado “tempo unitário”, no caso, em 1 h:

1)  O agricultor capina tudo em 10 h → em 1 h, ele capina 1/10 do terreno;

2)  Sua esposa capina tudo em 12 h → em 1 h, ela capina 1/12 do terreno;

3)  Juntos, em 1 h, os dois capinam 1/10 + 1/12 = 11/60 do terreno. 

4)  Resta capinar 60/60 – 11/60 = 49/60 do terreno;

5)  A filha do agricultor capina tudo em x h → em 1 h, ela capina 1/x do terreno;

6)  Em 3 h, os três capinam juntos os 49/60 restantes. 

Logo:  3 . (1/10 + 1/12 + 1/x) = 49/60 → 3/10 + 1/4 + 3/x = 49/60

→ multiplicando todas as frações pelo mmc(10, 4, x, 60) = 60 x

→ 18x + 15x + 180 = 49x → 180 = 16x

→ x = 180/16 = 45/4 = 11,25 h.

GABARITO:  11, 25 h

06)  Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou a seguinte decisão:  dividiria sua fortuna de 20 milhões de reais entre sua filha, que estava grávida, e a prole desta gravidez, cabendo a cada criança que fosse nascer o dobro que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino e o triplo do que caberia à mãe, se fosse do sexo feminino.  Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma menina.  A parte que coube à menina foi:

Solução:  Sendo x a parte que cabe à mãe, podemos chamar de 2x a parte de cada menino e 3x, a da menina.

Logo:  x + 2x + 2x + 3x = 20 M → 8x = 20 M → x = 7,5 milhões.

GABARITO:  7,5 milhões de reais

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Prof. Bruno Leal Resolve - CVI - Diversas questões do BNDES - CESGRANRIO

(Administrador – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Suponha que no banco em que Ricardo trabalha, ele faça parte de um grupo de quatro administradores e que no mesmo banco existam também cinco economistas. Será formado um comitê composto por três administradores e três economistas, todos escolhidos aleatoriamente. Qual é a probabilidade de o comitê formado ter Ricardo como um dos componentes?
(A) 0
(B) 0,25
(C) 0,50
(D) 0,75
(E) 1

Solução:  1)  Vamos encontrar o total de comitês possíveis: 
Escolher 3 administradores dentre 4 → C_4,3 = 4;
Escolher 3 economistas dentre 5 → C_5,3 = 10;
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 4 x 10 = 40 comitês.

2)  Vamos encontrar o total de comitês que nos interessam:
Escolher 2 administradores dentre 3 (note que estamos “forçando” o Ricardo a ser um dos escolhidos) → C_3,2 = 3;
Escolher 3 economistas dentre 5 → 10;
Pelo PFC, há 3 x 10 = 30 comitês.

3)  Pela definição de probabilidade:  p = 30/40 = 3/4 = 0,75.

Note que não havia necessidade de calcular os 10 economistas.

GABARITO:  D

(Técnico Administrativo – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Progressões aritméticas são sequências numéricas nas quais a diferença entre dois termos consecutivos é constante. A sequência (5, 8, 11, 14, 17, ..., 68, 71) é uma progressão aritmética finita que possui
(A) 67 termos
(B) 33 termos
(C) 28 termos
(D) 23 termos
(E) 21 termos

Solução 1:  Nessa PA, temos:  a₁ = 5, a_n = 71 e r = 8 – 5 = 3.  A incógnita é n, a quantidade de termos da PA.

Pela Fórmula do Termo Geral, vem:  a_n = a₁ + (n – 1).r → 71 = 5 + (n – 1) . 3 → 66 = (n – 1) . 3 → 22 = n – 1 → 23 = n.

Solução 2:  A quantidade de termos é dada por Q = (M – m) : “pulos” + 1, sendo M, o maior número, m, o menor e os pulos, a razão da PA.  É assim que explico para as crianças que prestam concurso pro Colégio Militar.

Logo:  Q = (71 – 5) : 3 + 1 → 66 : 3 + 1 = 22 + 1 = 23.

GABARITO:  D

(Técnico Administrativo – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Dentro de um pote, há 5 bombons embrulhados em papel azul, 6 embrulhados em papel vermelho, e 7 embrulhados em papel verde. Quantos bombons, no mínimo, devem ser retirados do pote, sem que se veja a cor do papel, para se ter certeza de haver retirado dois bombons embrulhados em papéis de cores diferentes?
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 7
(E) 8

Solução:  Como há 3 cores diferentes, a pior possibilidade consiste em se retirar 3 bombons, sendo 1 de cada cor.  Ao se retirar o quarto bombom, com certeza absoluta, haverá coincidência em uma das cores.

GABARITO:  B

(Técnico Administrativo – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Seja x um número natural tal que o mínimo múltiplo comum entre x e 36 é 360, e o máximo divisor comum entre x e 36 é 12. Então, a soma dos algarismos do número x é
(A) 3
(B) 5
(C) 9
(D) 16
(E) 21

Solução:  Sabe-se que, para dois números naturais a e b, tem-se:   mmc(a, b) . mdc(a,b) = a . b.
No caso, a = 36, b = x, mmc = 360 e mdc = 12.  Logo:  360 . 12 = 36 . x → simplificando ambos os membros por 36 → 10 . 12 = x → 120 = x.
Portanto, a soma dos algarismos de x é 1 + 2 + 0 = 3.

GABARITO:  A

(Técnico Administrativo – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Mariana e Laura compraram um saco com 120 balas que custava R$ 7,50. Laura contribuiu com R$ 4,50, e Mariana, com o restante. Se as balas forem divididas em partes diretamente proporcionais ao valor pago por cada menina, com quantas balas Mariana ficará?
(A) 36
(B) 48
(C) 54
(D) 72
(E) 96

Solução:  1)  O peso da Mariana é 7,50 – 4,50 = 3,00;
2)  Soma dos pesos:  7,50;
3)  Constante de proporcionalidade:  k = 120 : 7,50 → k = 16;
4)  Parte da Marina:  16 . 3 = 48.

GABARITO:  B

(Técnico Administrativo – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco. De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais?
(A) 13
(B) 14
(C) 16
(D) 17
(E) 18

Solução:  Precisamos dividir o problema em 3 casos:
1)  A cor do texto é preta:  há 5 possibilidades para a cor do papel;
2)  A cor do texto é vermelha:  há 5 possibilidades para a cor do papel;
3)  A cor do texto é branca:  há 6 possibilidades para a cor do papel;
Logo, ao todo, há 5 + 5 + 6 = 16 possibilidades.

GABARITO:  C

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Prof. Bruno Leal Resolve - CV - Diversas questões dos Correios

(Atendente Comercial – Correios – AP – Intelectus/2006)  Seis pedreiros constroem um muro de 45 m de extensão em 9 dias. Em quantos dias 10 pedreiros construirão um muro de 50 m de extensão e de mesma altura que o outro, trabalhando no mesmo ritmo?
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7
E. 6

Solução:  1)  6 pedreiros constroem um muro de 45 m em 9 dias.  Logo, 1 pedreiro constrói um muro de 45 m em 9 x 6 = 54 dias;

2)  1 pedreiro constrói um muro de 1 m em 54/45 = 6/5 do dia;

3)  10 pedreiros constroem um muro de 1 m em 6/5 : 10 = 6/50 do dia;

4)  10 pedreiros constroem um muro de 50 m em 6/50 x 50 = 6 dias. 

GABARITO:  E

(Atendente Comercial – Correios – AP – Intelectus/2006)  No almoxarifado de uma Empresa há 68 pacotes de papel sulfito, dispostos em 4 prateleiras. Se as quantidades de pacotes em cada prateleira correspondem a  4 números pares consecutivos, então, dos números seguintes, o que representa uma dessas quantidades é o:
A. 8
B. 12
C. 18
D. 22
E. 24

Solução:  Sendo x o menor dos números, os demais serão x + 2, x + 4 e x + 6, haja vista que os números naturais pares se sucedem de 2 em 2.  Como a soma dos 4 é 68, temos:
x + x + 2 + x + 4 + x + 6 = 68 → 4x + 12 = 68 → 4x = 68 – 12 → 4x = 56 → x = 56/4 → x = 14.

Logo, os demais são 16, 18 e 20.  A resposta é a letra C.

GABARITO:  C

(Atendente Comercial – Correios – AP – Intelectus/2006)  Com velocidade média de 18 km/h, um pedestre correu durante 1 hora e 20 minutos. A 15 km/h, em quanto tempo teria feito o mesmo percurso?
A. 2h e 26 min
B. 1h e 26 min
C. 2h e 36 min
D. 1h e 36 min
E. 3h

Solução:  1)  1h 20 min = 80 min;

2)  Com velocidade de 18 km/h, o pedestre percorreu certa distância em 80 min.  Com v = 1 km/h, percorreria a mesma distância em 80 x 18 min;

3)  Com v = 15 km/h, percorreria a mesma distância em (80 x 18) / 15 = 96 min ou 1 h 36 min.

GABARITO:  D

(Atendente Comercial – Correios – AP – Intelectus/2006)  Numa fábrica trabalham 532 pessoas, entre homens, mulheres e menores. O número de homens é o dobro do de mulheres e este é o dobro do de menores. Quantas são as mulheres?
A. 304
B. 152
C. 76
D. 50
E. 30

Solução:  Vamos SUPOR que haja 1 menor.  Logo, haveria 1  x 2 = 2 mulheres e 2 x 2 = 4 homens.  Nessas condições, o total de trabalhadores seria 1 + 2 + 4 = 7.

Mas... não são apenas 7, e sim 532!  Notando que 532/7 = 76, para encontrarmos o número correto de mulheres basta multiplicarmos 2 (o valor que supusemos no início) por 76, encontrando 152.

GABARITO:  B

(Atendente Comercial – Correios – AP – Intelectus/2006)  Victor, às vezes, vai de carro visitar seu amigo José. Para isso, roda 94,4km e gasta 8 litros de gasolina. Ao visitar seu amigo Gabriel, rodando 177 km, nas mesmas condições de consumo, a quantidade de litros de gasolina que gasta é:
A. 1,8
B. 12
C. 13,4
D. 15
E. 16,2

Solução:  1)  Victor gasta 8 l para percorrer 94,4 km.  Logo, com 1 l, percorre 94,4 : 8 = 11,8 km.

2)  Para percorrer 177 km, gastará 177 : 11,8 = 15 l.

GABARITO:  D

(Atendente Comercial – Correios – AP – Intelectus/2006)  Por apresentar excelente desempenho em seu trabalho, um funcionário dos Correios recebeu um aumento de 10% de salário no mês de janeiro de 2005. Em março do mesmo ano esse funcionário foi promovido e recebeu um novo aumento de 20%. Em relação ao seu salário de dezembro de 2004, o salário desse funcionário, a partir de março de 2005, teve um aumento de:
A. 30%
B. 32%
C. 200%
D. 21%
E. 31%

Solução:  Vamos supor o salário inicial = 100 reais;
1)  aumento de 10% → 10% x 100 = 10 → passou a ser 110 reais o salário;
2)  aumento de 20% → 20% x 110 = 22 → passou a ser 110 + 22 = 132 o salário;
3)  Em confronto com o salário inicial de 100 reais, percebe-se que houve um aumento acumulado de 32%.

GABARITO:  B

(Atendente Comercial – Correios – AP – Intelectus/2006)  Uma fábrica de doces distribuiu certo tipo de balas em pacotes de 2 kg, que contém 250 balas iguais. Qual o “peso”de 15 dessas balas?
A. 120 g
B. 1,2 kg
C. 120 cg
D. 12 dg
E. 1200 mg

Solução:  1)  2 kg = 2000 g;
2)  1 bala pesa 2000 : 250 = 8 g;
3)  15 balas pesam 8 x 15 = 120 g.

Obs.:  Essa questão caiu na ESA, na década de 90, com o mesmo enunciado.  VÃO TER COM AS FORMIGAS, Ó PREGUIÇOSOS!!

GABARITO:  A

(Atendente Comercial – Correios – AP – Intelectus/2006)  Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 10% ao ano, em relação ao ano anterior. Se após 3 anos de uso, esse automóvel é avaliado em R$ 14.580,00, podemos dizer que no ano de sua fabricação esse carro valia:
A. 16.200,00
B. 18.000,00
C. 20.000,00
D. 22.340,00
E. 24.150,00

Solução:  Quando um produto se desvaloriza de 10%, seu valor passa a ser 90% do que era.  Por exemplo:  se o produto custava 100 reais, desvalorizando-se de 10%, passa a custar 90 reais, o que corresponde a 90% de 100.

Como o automóvel teve 3 desvalorizações sucessivas de 10%, o seu valor inicial, x, foi multiplicado por 90% três vezes.

Logo:  x . 0,9 . 0,9 . 0,9 = 14580 → x . 0,729 = 14580 → x = 20000 reais.

GABARITO:  C

(Atendente Comercial – Correios – AP – Intelectus/2006)  Um indivíduo aplicou a quantia de R$ 250,00 e obteve como juros simples R$ 20,00. Sabendo-se que para cada R$ 1,00 aplicado o juro simples era de R$ 0,02 ao mês. O número de meses em que esse dinheiro ficou aplicado foi:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Solução:  1)  Se, para cada 1 real, o juro era de 0,02 real, então a taxa de juros é de 2% a.m.;
2)  Aplicando-se 250 reais a 2% a.m., teríamos, após 1 mês, juros de 250 x 0,02 = 5 reais;
3)  Como na verdade os juros perfizeram 20 reais, o capital de 250 reais for aplicado durante 20 : 5 = 4 meses.

GABARITO:  D

(Economista Jr. – Correios – RJ – MSCONCURSOS/2007)  Um investimento em certo banco rendeu 56% em um mês no qual a inflação foi de 38%. Portanto o ganho real nesse mês foi de?
a) 18%.  b) 17%.  c) 15%.  d) 13%.

Solução:  Vamos supor um capital de 100 reais investido nesse banco.  Repondo as perdas inflacionárias, sem ganho real algum, o montante após 1 mês deveria ser de 138 reais.
Como na verdade o rendimento foi de 56%, tal montante é igual a 156 reais.

Portanto, o ganho real é calculado tomando-se como referência o capital de 138 e um lucro real de 156 – 138 = 18 reais.

Logo, o ganho real foi de 18/138 = 13% aproximadamente.

GABARITO:  D

(Economista Jr. – Correios – RJ – MSCONCURSOS/2007)  Um carro é vendido à vista por R$ 22.000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira através de uma entrada no valor de R$ 4.400,00 e a segunda e última parcela depois de quatro meses, no valor de R$ 18.832,00. Calcule a taxa mensal de juros simples utilizada na compra do veículo? a) 1,5%. b) 1,75%. c) 2,75%. d) 3%.

Solução:  1)  Após a entrada, o valor financiado é de 22000 – 4400 = 17600 reais.  Ao final de 4 meses, o valor pago é de 18832, o que significa juros de 18832 – 17600 = 1232 reais.
2)  Por mês, os juros perfazem 1232 : 4 = 308 reais, o que representa uma taxa mensal de 308/17600 = 0,0175 = 1,75%.

GABARITO:  B

Prof. Bruno Leal Resolve - CIV - Questões Recentes da Banca AOCP

(Analista Administrativo – AOCP/2015)  Uma pesquisa de opinião foi feita com certo grupo de pessoas. 30% dos entrevistados responderam SIM à pesquisa e 140 pessoas responderam NÃO. O número de pessoas pesquisadas é
(A) 60. (B) 70. (C) 120. (D) 140. (E) 200.

Solução:  Se 30% responderam SIM, então 70% responderam NÃO (supondo que só havia essas duas opções de resposta).  Logo:

70% → 140 pessoas;
10% → 140 : 7 = 20 pessoas;
100% → 20 x 10 = 200 pessoas.

GABARITO:  E

[Lógica da Argumentação]  (Analista Administrativo – AOCP/2015)  Se LEÃO, então VACA. Se VACA, então PORCO. Se PORCO, então PATO. Sabe-se que NÃO PATO, então 

(A) PORCO e NÃO VACA. (B) VACA e NÃO PORCO. (C) LEÃO e VACA. (D) VACA. (E) NÃO LEÃO

Solução:  1)  O terceiro condicional, Se porco, então pato, é equivalente ao condicional Se não pato, então não porco.  Logo, sabemos agora que “não porco” é correto;

2)  O segundo condicional, Se vaca, então porco, é equivalente ao condicional Se não porco, então não vaca.  Portanto, sabemos também que “não vaca” é verdade;

3)  O primeiro condicional, Se leão, então vaca, é equivalente a Se não vaca, então não leão.  Daí, descobrimos ser verdade “não leão”.

GABARITO:  E

(Analista Administrativo – AOCP/2015)  Em um baralho com 52 cartas, 4/13 do total correspondem a cartas com letras. Destas cartas com letras, 3/4 são consoantes. O número de cartas com vogais corresponde a que fração do baralho?
(A) 1/13 (B) 2/13 (C) 3/13 (D) 4/13 (E) 5/13

Solução:   Se 3/4 das cartas com letras são consoantes, o restante, 1/4 das cartas com letras, são vogais.  Logo, a fração pedida é 1/4 x 4/13 = 1/13.

GABARITO:   A

(Analista Administrativo – AOCP/2015)  Em uma sala de aula de ensino médio, 44 alunos escrevem com a mão direita e 12 escrevem com a mão esquerda. Sabendo que o número total de alunos é 50, o número de pessoas que escrevem apenas com a mão direita é
(A) 40. (B) 38. (C) 35. (D) 29 (E) 17.

Solução:  Admitindo que todos saibam escrever (ser aluno do EM não é garantia disso no Brasil), então há (44 + 12) – 50 = 6 alunos que sabem escrever com as duas mãos.

Sendo assim, há 44 – 6 = 38 alunos que só escrevem com a mão direita.

GABARITO:  B

(Analista Administrativo – AOCP/2015)  Observe a sequência a seguir em que todos os múltiplos de quatro são omitidos e, em seu lugar, aparece a “palavra” PIM: (1, 2, 3, PIM, 5, 6, 7, PIM, 9, 10, 11, PIM, ...).

O 20º PIM ocupa o lugar em que deveria aparecer o número
(A) 20. (B) 4. (C) 40. (D) 80. (E) 100.

Solução:  O enunciado já nos diz o que fazer:  encontrar o vigésimo múltiplo positivo de 4, que é ninguém mais, ninguém menos do que o 4 x 20 = 80.

GABARITO:  D

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Prof. Bruno Leal Resolve - XCVIII - Diversas questões de Auditor-Fiscal

[Polígonos]  (Auditor-Fiscal da Receita Federal/ESAF/2014)  Um polígono regular possui 48 diagonais que não passam pelo seu centro. A partir desta informação, pode-se concluir que o número de lados desse polígono é igual a:
a) 12 b) 36 c) 24 d) 48 e) 22

Solução:  1)  Sendo n o número de lados do polígono, temos que o total de diagonais é n(n – 3)/2 e o total de diagonais que PASSAM pelo centro é n/2, se n for par ou zero, se n for ímpar.

O total de diagonais que não passam pelo centro é a diferença entre as duas fórmulas.

Logo:  n(n – 3)/2 – n/2 = 48 → n² – 3n – n = 96 → n² – 4n = 96 → colocando n em evidência → n(n – 4) = 96.

Lembrando que n é inteiro, positivo, e maior que 2 e notando que 96 = 12 x 8 , temos:

n(n – 4) = 12 . 8 → como 8 = 12 – 4, n = 12.  O polígono em questão é o dodecágono.

GABARITO:  A

[Raciocínio Lógico]  (Auditor-Fiscal da Receita Federal/ESAF/2014)  Se é verdade que alguns adultos são felizes e que nenhum aluno de matemática é feliz, então é necessariamente verdade que:
a) algum adulto é aluno de matemática.
b) nenhum adulto é aluno de matemática.
c) algum adulto não é aluno de matemática.
d) algum aluno de matemática é adulto.
e) nenhum aluno de matemática é adulto

Solução:  Os adultos que são felizes não podem ser aluno de matemática, pois nenhum aluno de matemática é feliz.    Cuidado com a letra E, pois há adultos infelizes.

GABARITO:  C

[Raciocínio Lógico]  (Auditor-Fiscal da Receita Federal/ESAF/2014)  Ana está realizando um teste e precisa resolver uma questão de raciocínio lógico. No enunciado da questão, é afirmado que: “todo X1 é Y. Todo X2, se não for X3, ou é X1 ou é X4. Após, sem sucesso, tentar encontrar a alternativa correta, ela escuta alguém, acertadamente, afirmar que: não há X3 e não há X4 que não seja Y. A partir disso, Ana conclui, corretamente, que:

a) todo Y é X2.
b) todo Y é X3 ou X4.
c) algum X3 é X4.
d) algum X1 é X3.
e) todo X2 é Y.

Solução:  A questão assusta, mas é relativamente fácil.  A última afirmação é equivalente a “todo X4 é Y”.  Como não existem X3 e todo X1 e todo X4 são Y, conclui-se que todo X2 é Y.

GABARITO:  E

[Proporções]  (Auditor-Fiscal da Receita Federal/ESAF/2014)  Duas estudantes de química, Sara e Renata, estão trabalhando com uma mistura de amônia e água. Renata está trabalhando com a mistura de amônia e água, na proporção de 5:9, ou seja: 5 partes de amônia para 9 partes de água. Sabe-se que Sara está trabalhando com a mistura de amônia e água na proporção de 8:7, ou seja: 8 partes de amônia para 7 partes de água. Desse modo, para se obter uma mistura de amônia e água na proporção de 1:1, as misturas de Sara e Renata devem ser misturadas, respectivamente, na proporção:
 a) 8:15 b) 7:35 c) 30:7 d) 35:7 e) 32:5

Solução:  Vamos misturar x litros da mistura de Renata com y litros da mistura de Sara, obtendo uma mistura com (x + y) litros, contendo partes iguais de amônia e água.

Dos x litros da mistura de Renata, 5x/14 é amônia e 9x/14 é água (note que 5 + 9 = 14);

Dos y litros da mistura de Sara, 8y/15 é amônia e 7y/15 é água (note que 8 + 7 = 15);

“Misturando as misturas”, dos (x + y) litros, 5x/14 + 8y/15 é amônia e 9x/14 + 7y/15 é água.

As duas quantidades devem ser iguais, logo:  5x/14 + 8y/15 = 9x/14 + 7y/15 → y/15 = 4x/14 → y/15 = 2x/7;

O objetivo do exercício é encontrarmos y/x (cuidado para não confundir os nomes, pois ele pede a razão entre Sara e Renata).  Logo, y = 30x/7 → y/x = 30/7.

GABARITO:  C

[Juros Compostos]  (Auditor-Fiscal/Fortaleza/ESAF/2003)  O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação.

a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92

Solução:  1)  Taxa nominal de 24% a.a. com cap. mensal → taxa efetiva de 2% a.m.;

2)  M = 20000(1,02)¹⁸ → 20000 . 1,42824 → M = 28564,92.

GABARITO:  E

[Descontos Simples]  (Auditor-Fiscal/Fortaleza/ESAF/2003)  Um título no valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1.800,00 três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada.

a) 6% b) 5% c) 4% d) 3,3% e) 3%

Solução:  Como o desconto é comercial simples, podemos escrever que d = N . i . t, logo:  1800 = 20000 . i/100 . 3 → 1800 = 600 i → i = 3% a.m.

GABARITO:   E

[O Regime Composto]  (Auditor-Fiscal/Fortaleza/ESAF/2003)  Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ 100.000,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ 110.000,00 que vai vencer daqui a seis meses?

a) R$ 210.000,00 b) R$ 220.000,00 c) R$ 221.000,00 d) R$ 230.000,00 e) R$ 231.000,00

Solução:  1)  Vamos adotar como data zero 1 ano atrás, quando venceu o capital de 100000.  “Trazendo” esse capital para a data de hoje, ele “avançará” no tempo 12 meses = 2 semestres, passando a valer 100000(1,10)² = 121000 reais;

2)  O capital de 110000 reais, vencível em 6 meses = 1 semestre, “voltará no tempo”, valendo hoje 110000 : 1,1 = 100000 reais;

3)  Logo, a soma dos montantes é 221000 reais.

GABARITO:  C

[Raciocínio Lógico]  (Auditor-Fiscal/RJ/FCC/2014)  Suponha que sejam verdadeiras as seguintes informações: 

I. Todos os empregados da empresa Alfa são competentes.
II. Mário não trabalha na empresa Alfa.
III. André é competente.
IV. Alguns empregados da empresa Alfa são estudantes.
Então, é correto afirmar que
(A) todos os estudantes são competentes.
(B) existe pelo menos um estudante que é competente.
(C) André trabalha na empresa Alfa.
(D) Mário não é competente.
(E) existe pelo menos um estudante que não trabalha na empresa Alfa.

Solução:  A resposta certa é a B, pois os estudantes que trabalham na empresa Alfa certamente são competentes.

GABARITO:  B

Prof. Bruno Leal Resolve - XCVII - Mais questões recentes da VUNESP

[Progressão Aritmética]  (Auditor/Desenvolve SP/VUNESP/2014)  Aquele que dá 3 passos para a direita somará 1 + 3 + 5, e se der 5 passos para a direita somará 1 + 3 + 5 + 7 + 9. Ou seja, somará números ímpares consecutivos, partindo de 1, tantas parcelas quantos passos der. Aquele que dá 3 passos para a esquerda somará 2 + 4 + 6, e se der 4 passos para a esquerda somará 2 + 4 + 6 + 8. Ou seja, somará números pares consecutivos, partindo de 2, tantas parcelas quantos passos der. Agindo dessa maneira, a diferença entre a soma de quem deu 28 passos para a direita e a soma de quem deu 27 passos para a esquerda é 

(A) 4. (B) 27. (C) 28. (D) 35. (E) 117.

Solução:  Como “preliminares”, vamos encontrar uma maneira rápida de somarmos os n primeiros números pares positivos e os n primeiros números ímpares positivos:

Acompanhe os raciocínios:

n = 2 → 2 + 4 = 6 = 2 x 3;
n = 3 → 2 + 4 + 6 = 12 = 3 x 4;
n = 4 → 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 x 5;

Prova-se pelo Princípio da Indução Finita que a soma dos n primeiros números pares positivos é n(n + 1).  Logo, quem deu 27 passos para a esquerda somou os 27 primeiros números pares positivos.  Aplicando a fórmula acima, temos que tal soma é 27 x 28 = 756;

Agora, os ímpares:

n = 2 → 1 + 3 = 5 = 2 x 2;
n = 3 → 1 + 3 + 5 = 9 = 3 x 3;
n = 4 → 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 x 4;

Prova-se pelo Princípio da Indução Finita que a soma dos n primeiros números ímpares positivos é n x n = n².  Logo, quem deu 28 passos para a direita somou os 28 primeiros números ímpares positivos.  Aplicando a fórmula acima, temos que tal soma é 28 x 28 = 784.

Portanto, a diferença pedida é 784 – 756 = 28.

GABARITO:  C

[Teoria dos Conjuntos]  (Auditor/Desenvolve SP/VUNESP/2014)  Em relação aos conjuntos A, B e C e a um total de 58 elementos que pertencem a eles, sabe-se: que nenhum elemento pertence simultaneamente aos três conjuntos; que 13 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B; que 3 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos A e C; que 2 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos B e C; que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto C é 5 unidades a mais do que aqueles que pertencem apenas ao conjunto B; que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto A é 1 unidade a menos do que aqueles que pertencem apenas ao conjunto B. O número de elementos que pertencem apenas ao conjunto C é igual a:
(A) 46. (B) 31. (C) 24. (D) 17. (E) 12

Solução:  Denotando por n(A) o número de elementos de A, e por n’(A) o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto A, temos:  n(A ∪ B ∪ C) = n’(A) + n’(B) + n’(C) + n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).
Sendo:  n(A ∪ B ∪ C) = 58;
n(A ∩ B ∩ C) = 0;
n(A ∩ B) = 13;
n(A ∩ C) = 3;
n(B ∩ C) = 2;
n’(C) = n’(B) + 5;
n’(A)  = n’(B) – 1;
n’(B) = x
Logo, 58 = 13 + 3 + 2 + x + 5 + x – 1 + x + 0 → 58 = 3x + 22 → x = 12;
Logo, n’(C) = 12 + 5 = 17.  

GABARITO:  C

[Tabelas-Verdade]  (Auditor/Desenvolve SP/VUNESP/2014)  Considere as afirmações: 
I. A camisa é azul ou a gravata é branca. 
II. Ou o sapato é marrom ou a camisa é azul. 
III. O paletó é cinza ou a calça é preta. 
IV. A calça é preta ou a gravata é branca. 
Em relação a essas afirmações, sabe-se que é falsa apenas a afirmação IV. Desse modo, é possível concluir corretamente que 
(A) a camisa é azul e a calça é preta. 
(B) a calça é preta ou o sapato é marrom. 
(C) o sapato é marrom ou a gravata é branca. 
(D) a calça é preta e o paletó é cinza. 
(E) a camisa é azul ou o paletó é cinza.

Solução:  1)  “Volta de apresentação e aquecimento dos pneus”:  Uma disjunção inclusiva, ou apenas disjunção (p ou q) é falsa quando as duas proposições que a formam são falsas.  Se pelo menos uma delas for verdadeira, a disjunção é verdadeira.
Uma disjunção exclusiva (OU p OU q) é verdadeira se apenas uma das proposições for verdadeira. Se ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas, a disjunção exclusiva será falsa.

2)  Sabemos que IV é falsa.  Trata-se de uma disjunção.  Logo, as duas partes da mesma precisam ser falsas, portanto a calça NÃO É PRETA e a gravata NÃO É BRANCA.

3)  Repare a afirmação III:  trata-se de outra disjunção, que é verdadeira (só IV é falsa).  Mas uma de suas partes (a calça é preta) é FALSA (conforme vimos acima), por isso a outra parte precisa necessariamente ser verdadeira.  Logo, o paletó É CINZA.

4)  Vamos agora à afirmação I:  novamente uma disjunção verdadeira que apresenta uma de suas partes (a gravata é branca) sendo FALSA.  Daí conclui-se que a outra parte da disjunção precisa ser verdadeira necessariamente (como no item anterior).  Logo, a camisa É AZUL.
Nem precisamos analisar a afirmação II, pois já podemos cravar o gabarito como a letra E.

Não se esqueça que uma disjunção inclusiva é verdadeira se pelo menos uma de suas partes forem verdadeiras, podendo, inclusive, serem ambas as partes verdadeiras.


GABARITO:  E

Prof.Bruno Leal Resolve - XCV - Questões do TJ-SP

(Escrevente/TJ/SP/VUNESP/2014)  Norberto tomou dois empréstimos, que foram pagos após 2 meses com o acréscimo de juro simples. No primeiro, de certo valor, a taxa de juros foi de 1% ao mês. No segundo, de valor R$ 1.600,00 maior que o do primeiro, a taxa de juros foi de 1,5% ao mês. Sabendo que a soma dos juros pagos nos dois empréstimos foi igual a R$ 128,00, é correto afirmar que a soma dos valores desses dois empréstimos é igual a

(A) R$ 4.800,00. (B) R$ 4.000,00. (C) R$ 3.200,00. (D) R$ 4.600,00. (E) R$ 3.600,00.

Solução:  1)  Capital 1 = x; taxa 1 = 1% a.m. e prazo 1 = 2 meses.

Temos que o juro do primeiro empréstimo é dado por J₁ = x . 1/100 . 2 → 2x/100 reais;

2) Capital 2 = (x + 1600); taxa 2 = 1,5% a.m. e prazo 2 = 2 meses.

Logo, J₂ = (x + 1600) . 1,5/100 . 2 → (x + 1600) . 3/100 reais;

3)  Como a soma dos juros é 128 reais, vem:  2x/100 + 3(x + 1600)/100 = 128 →

2x + 3x + 4800 = 12800 → 5x = 8000 → x = 1600 reais.

4)  O capital 2 é 1600 + 1600 = 3200 reais e a soma de ambos os empréstimos, 1600 + 3200 = 4800 reais.

GABARITO:  A

(Escrevente/TJ/SP/VUNESP/2014)  Certa empresa produz diariamente quantidades iguais do produto P. Se essa empresa usar três medidas iguais do componente A em cada unidade do produto final P, serão necessárias 480 dessas medidas para suprir a produção de P durante 2 dias. Se passar a usar 2,5 medidas de A em cada unidade de P, o número de medidas de A necessário para suprir a produção de P, durante 5 dias, será igual a

(A) 1050. (B) 1000. (C) 1220. (D) 980. (E) 1140

Solução:  1) 1 unidade de P →  3 medidas do componente A

480 medidas → 480 : 3 = 160 unidades de P → 2 dias

480 medidas → 160 : 2 = 80 unidades de P → 1 dia

O objetivo é continuar produzindo 80 unidades de P por dia, dessa vez com 2,5 medidas de A.

2)  1 unidade de P → 2,5 unidades de A

80 unidades de P → 80 x 2,5 = 200 unidades de A → 1 dia

200 x 5 = 1000 unidades de A → 5 dias.

GABARITO:  B

(Escrevente/TJ/SP/VUNESP/2014)  Considere um reservatório com o formato de um paralelepípedo reto retângulo, com 2 m de comprimento e 1,5 m de largura, inicialmente vazio. A válvula de entrada de água no reservatório foi aberta por certo período, e, assim, a altura do nível da água no reservatório atingiu 50 cm, preenchendo 40% da sua capacidade total. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura desse reservatório, em metros, é igual a

(A) 1,75. (B) 1,25. (C) 1,65. (D) 1,50. (E) 1,35.

Solução:  1)  Nível da água:  50 cm = 0,5 m;

2)  Volume d’água:  2 x 1,5 x 0,5 = 1,5 metro cúbico, o que corresponde a 40% do volume total do reservatório;

3)  Logo, 10% do volume total é 1,5 : 4 = 0,375 metro cúbico e o volume total, 100%, é 0,375 x 10 = 37,5 metros cúbicos.

4)  Sendo x a altura procurada, temos que V = 37,5 → 2 . 1,5 . x = 37,5 → x = 1,25 m

GABARITO:  B

(Escrevente/TJ/SP/VUNESP/2014)  Considere a afirmação: “Se passei no exame, então estudei muito e não fiquei nervoso”. Do ponto de vista lógico, uma afirmação equivalente a essa é:

(A) Se estudei muito, então não fiquei nervoso e passei no exame.
(B) Se passei no exame, então não estudei muito e fiquei nervoso.
(C) Passei no exame porque quem estuda muito só pode passar.
(D) Se não fiquei nervoso, então passei no exame ou estudei muito.
(E) Se fiquei nervoso ou não estudei muito, então não passei no exame.

Solução:  Sabemos que o condicional p → q é equivalente a ~q → ~p, sendo ~p e ~q as negações de p e q, respectivamente.

O antecedente do condicional, p, é “passei no exame”.  Sua negação é “não passei no exame”.

O consequente, q, é “estudei muito E não fiquei nervoso”.  Note que se trata de uma conjunção.  Sua negação é “não estudei muito OU fiquei nervoso”.

Logo, a equivalência pedida é “Se não estudei muito ou fiquei nervoso, então não passei no exame”.

GABARITO:  E

(Escrevente/TJ/SP/VUNESP/2014)  Considere verdadeiras as afirmações:

•  Todos os cães latem.
•  Todos os cães possuem quatro patas.
•  Os gatos também possuem quatro patas.
•  Alguns seres humanos imitam os latidos dos cães.
•  Nem todos os cães mordem e alguns gatos arranham.

A partir dessas afirmações, pode-se concluir, corretamente, que
(A) alguns seres humanos imitam os miados dos gatos.
(B) os gatos que arranham assustam os cães que não mordem.
(C) os cães que latem possuem quatro patas.
(D) ou os gatos arranham ou os gatos miam.
(E) alguns cães não possuem quatro patas e não latem.

Solução:  A única alternativa que contém uma afirmação coerente com os dados é a letra C.

GABARITO:  C

Prof. Bruno Leal Resolve - XCIV - Questões de Agente da PF - CESPE

(Agente da Polícia Federal/CESPE/2014)  Um batalhão é composto por 20 policiais: 12 do sexo masculino e 8 do sexo feminino. A região atendida pelo batalhão é composta por 10 quadras e, em cada dia da semana, uma dupla de policiais policia cada uma das quadras. Com referência a essa situação, julgue os itens subsequentes.

(i)  Caso as duplas de policiais sejam formadas aleatoriamente, então a probabilidade de que em determinado dia os policiais que policiarão determinada quadra sejam do mesmo sexo será superior a 0,5.

Solução:  1)  O total de duplas que podemos formar é C_20,2 = 20 x 19 / 2 = 190 (a dupla Bruno e Sophia é a mesma que Sophia e Bruno);

2)  Duplas com dois homens:  C_12,2 = 12 x 11 / 2 = 66; com duas mulheres, C_8,2 = 8 x 7 / 2 = 28.

O total de casos favoráveis é 66 + 28 = 94, inferior a 95, metade de 190.  Por isso a probabilidade é inferior a 0,5. 

ITEM ERRADO.

(ii)  Se, dos 20 policiais do batalhão, 15 tiverem, no mínimo, 10 anos de serviço, e 13 tiverem, no máximo, 20 anos de serviço, então mais de 6 policiais terão menos de 10 anos de serviço.

Solução:  Se 15, no mínimo, têm 10 anos de serviço então 5 têm menos de 10 anos.

ITEM ERRADO.

(iii)  Considerando que, após concurso público, sejam admitidos novos policiais no batalhão, de modo que a quantidade dos novos policiais do sexo masculino admitidos seja igual ao triplo da quantidade de novos policiais do sexo feminino, e que, devido a essas admissões, 0,7 passe a ser a probabilidade de se escolher, ao acaso, um policial do sexo masculino desse batalhão, então, no batalhão haverá mais de 15 policiais do sexo feminino.

Solução:  Seja x as novas policiais admitidas e, portanto, 3x os novos policiais homens.  Passaremos a ter 20 + 4x policiais ao todo, sendo 12 + 3x homens e 8 + x mulheres.

Como a nova probabilidade de se escolher um homem ao acaso é 0,7, podemos escrever que 

(12 + 3x) / (20 + 4x) = 7 / 10 → 120 + 30x = 140 + 28x → 2x = 20 → x = 10 novas mulheres, havendo, ao todo, 18 mulheres.

ITEM CERTO.

(iv)  Se os policiais do batalhão que praticam voleibol ou basquetebol também praticarem futebol, então aqueles que não praticam futebol também não praticarão voleibol nem basquetebol.

Solução:  Uma das equivalências do condicional Se p, então q é “Se não q então não p”.

A negação do antecedente é “os policiais do batalhão não praticam voleibol e não praticam basquetebol”, o que pode se reescrito como “os policiais do batalhão não praticam voleibol nem basquetebol”.

Já a negação do consequente é “não praticam futebol”.

Portanto, podemos escrever que o condicional original é equivalente a “Se os policiais do batalhão não praticam futebol, então não praticam voleibol nem basquetebol”, estando CERTO o item.

(v)  Se a escala dos policiais for feita de modo a diversificar as duplas que policiam as quadras, então, se determinada dupla policiar a quadra X em determinado dia, essa mesma dupla voltará a policiar a quadra X somente mais de seis meses após aquele dia.

Solução:  Vimos que há 190 possíveis duplas.  Como 6 meses = 180 dias, o item está CERTO.

Prof.Bruno Leal Resolve - XCIII

(Analista do Tesouro Estadual/PI/FCC/2015)  A senha requerida para ligar um computador é formada pelas mesmas 8 letras da palavra TERESINA, com as vogais ocupando as 4 primeiras posições e, as consoantes, as 4 últimas. Conhecendo apenas essas informações, uma pessoa que deseja usar o computador vai digitando todas as possíveis senhas, até acertar a correta. Se essa pessoa nunca digitar a mesma senha mais de uma vez, conseguirá descobrir a senha correta em, no máximo,
(A) 288 tentativas.
(B) 240 tentativas.
(C) 144 tentativas.
(D) 576 tentativas.
(E) 196 tentativas.

Solução:  1)  Podemos permutar as vogais entre si de 4! / 2 = 12 maneiras diferentes.  Note que há duas letras “E”;

2)  As consoantes podem ser permutadas entre si de 4! = 24 maneiras.

3)  Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 12 x 24 = 288 tentativas no máximo.

GABARITO:  A

Prof. Bruno Leal Resolve - XCI - Questões recentes da VUNESP

[Operações Fundamentais]    (Ag. Segurança Penitenciário/SP/VUNESP/2015)  Dentre as sugestões dadas pela Sabesp para evitar desperdício de água, dada a estiagem ocorrida nesse ano de 2014, está a de diminuir o tempo de banho. Um banho de 15 minutos consome 135 litros de água. Supondo-se que a água gasta é proporcional ao tempo do banho, e uma pessoa que antes tomava um único banho por dia de 15 minutos, passa a tomar agora apenas um banho de 5 minutos por dia. A economia de água feita por essa pessoa em 30 dias, em litros, será de 

(A) 2700. (B) 900. (C) 450. (D) 9000. (E) 27000.

Solução:  Como 5 = 15 : 3, o consumo em cada banho passa a se de 135 : 3 = 45 litros, sendo assim, economiza-se 135 – 45 = 90 litros por dia, ou seja, 90 x 30 = 2700 litros por mês.

GABARITO:  A

[Juros Simples]  (Ag. Segurança Penitenciário/SP/VUNESP/2015)  Elisângela recebeu R$ 6.000,00 referentes a uma indenização. Reservou R$ 1.200,00 desse valor para pagar seu advogado e o restante investiu a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês. Para resgatar o valor integral recebido na indenização, ela deverá esperar, em meses,

(A) 8. (B) 10. (C) 15. (D) 12. (E) 6.

Solução:  Ela investiu 6000 – 1200 = 4800 reais e pretende receber de juros os 1200 reais gastos com o advogado.  A taxa é 2,5% ao mês, o que significa que, a cada mês, ela receberá de juros 2,5 / 100 x 4800 = 120 reais.  Logo, precisará esperar 1200 : 120 = 10 meses.

GABARITO:  B

[Números Racionais]  (Ag. Segurança Penitenciário/SP/VUNESP/2015)  No último Natal, do total da população carcerária de certa unidade prisional, 1/5 teve o indulto natalino para sair temporariamente. Desses que saíram, 15% não retornaram à unidade, o que corresponde a 24 homens. Pode-se dizer que o total da população carcerária dessa unidade é 

(A) 640. (B) 600. (C) 800. (D) 540. (E) 480.

Solução:  1)  15% DOS QUE SAÍRAM correspondem a 24 homens.  Logo, 1% corresponde a 24 : 15 = 1,6 homem e 100% corresponde a 160 homens.  Logo, sabemos que 160 homens saíram, o que corresponde a 1/5 do total da população carcerária.  Portanto, a população carcerária inteira, 5/5, é igual a 160 x 5 = 800.

GABARITO:  C

[Porcentagem]  (Ag. Segurança Penitenciário/SP/VUNESP/2015)  

Num vestibulinho para curso técnico, em 2014, 2625 candidatos inscreveram-se para um determinado curso, apontando para um crescimento de 5% em relação ao número de inscritos no ano anterior para o mesmo curso e na mesma instituição. Portanto, em 2013, o número de candidatos inscritos para o vestibulinho desse curso técnico havia sido 

(A) 2475. (B) 2600. (C) 2521. (D) 2450. (E) 2500.

Solução:  Podemos montar a seguinte regra de três:

Candidatos %

2625 105

x        100

105x = 262500 →  x = 2500.

GABARITO:  E

[Porcentagem]  (Ag. Segurança Penitenciário/SP/VUNESP/2015)  Uma empresa vendia um sabonete líquido tipo A em embalagem de 500 mL por R$ 10,00. Passou a vender esse sabonete líquido tipo A em embalagens de 400 mL por R$ 7,20. Considerando-se apenas as alterações de quantidade e de preço, houve, no preço da nova embalagem, de 400 mL,

(A) uma redução de 5%
(B) um aumento de 10%
(C) um aumento de 20%
(D) uma redução de 20%
(E) uma redução de 10%

Solução:  Inicialmente tínhamos que 100 ml custavam 10 : 5 = 2 reais.  Agora, temos que os mesmos 100 ml custam 7,20 : 4 = 1,80 real.  Logo, houve uma redução em 0,20 real, que é 10% de 2 reais.

GABARITO:  E

[Volume]  (Ag. Segurança Penitenciário/SP/VUNESP/2015)  Dois reservatórios de água têm a mesma capacidade. O primeiro tem a forma de um cubo, cujas arestas internas medem 2,0 metros, e o segundo tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões internas, em metros, são: 4,0 de comprimento; 2,0 de largura e x de altura. A medida x, em metros, é 

(A) 1,00. (B) 1,25. (C) 0,75. (D) 1,50. (E) 2,50.

Solução:  1)  Volume do cubo:  2 . 2  . 2 = 8 metros cúbicos, que também é o volume do paraleleípedo.

2)  Volume do paralelepípedo:  4 . 2 . x = 8 → x = 1 m.

GABARITO:  A

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Prof. Bruno Leal Resolve - LXXVIII - Duas questões difíceis do CMRJ

1)  (CMRJ/2001)  As terras de uma fazenda estão divididas em 3 partes por 2 riachos.  A área da parte menor corresponde a 1/24 da área total da fazenda, menos 10 ha; nessa parte estão a casa-sede e demais imóveis da fazenda, além do recanto de lazer (mini-campo de futebol, quadra para vôlei, piscina, brinquedos etc.), hortas, pomar e grande curral.  

A área da parte intermediária, entre os dois riachos corresponde a 17/48 da área total da fazenda, menos 70 ha; essa parte é totalmente usada para pastos.  

Na terceira parte, 7/10 de sua área, mais 39 ha, estão ocupados por mata natural e o proprietário pretende utilizar o restante também para pasto.  

Quando isto ocorrer, metade da área da fazenda estará servindo de pasto para os animais nela criados.  Se o recanto de lazer ocupa 1/150 da parte menor da fazenda, a área desse recanto:

a) É menor que 2500 m²;

b) Está compreendida entre 2500 m², inclusive, e 4000 m², exclusive;

c) Está compreendida entre 4000 m², inclusive, e 5500 m², exclusive;

d) Está compreendida entre 5500 m², inclusive, e 7000 m², exclusive;

e) É maior ou igual a 7000 m².

Solução:  Questão dificílima, principalmente por se tratar de um concurso de admissão à antiga quinta série ginasial, atual sexto ano do EF. 

1º)  Vamos considerar a área total sendo T e a área da parte menor sendo x.  Podemos escrever que x = T/24 – 10;

2º)  Sendo y a área da parte intermediária, temos:  y = 17T/48 – 70, sendo toda essa área usada para pastos;

3º)  A soma das áreas menor e intermediária é T/24 – 10 + 17T/48 – 70 = 19T/48 – 80

4º)  Portanto, a área da terceira parte, a qual vamos chamar de z, é dada por z = T – (19T/48 – 80) → T – 19T/48 + 80 →  29T/48 + 80;

5º)  Temos que 7/10 de z + 39 é tomada por mata natural e o restante, ou seja, 3/10 de z – 39, utilizada para pastos.  Isso equivale a 3/10 . (29T/48 + 80) – 39 →  29T/160 + 24 – 39 →   29T/160 – 15.

6º)  As áreas calculadas nos itens 5 e 2 são utilizadas para pastos.  Como metade da fazenda é usada para esse fim, temos:  29T/160 – 15 + 17T/48 – 70 = T/2 →  

29T/160 + 17T/48 – 85  = T/2 →   o mmc entre 160, 48 e 2 é 480 →  

87T + 170T – 40800 = 240T →  17T = 40800 →  T = 2400 hectares.

7º)  A parte menor da fazenda é igual a x = 2400/24 – 10 = 90 hectares = 900000 metros quadrados.

8º)  A área do recanto de lazer é 900000/150 = 6000 metros quadrados.

GABARITO:  D

2)   (CMRJ/2000)  João Carlos selecionou para gravar alguns vídeo-clips que iam passar durante a semana na MTV.  Como o seu videocassete possui 3 velocidades de gravação,  programou o primeiro vídeo-clip para a velocidade SP e a duração foi de 1 hora.  O segundo vídeo-clip foi gravado na velocidade LP e o tempo de gravação foi de 1 hora. 

Hoje, ele precisa programar para gravar o terceiro vídeo-clip e quer utilizar a mesma fita dos dois programas anteriores. 

Usando a velocidade EP, o tempo de gravação que ainda resta é de:

OBS.:  velocidade SP:  grava uma fita inteira em 2 horas;

velocidade LP:  grava uma fita inteira em 4 horas;

velocidade EP:  grava uma fita inteira em 6 horas.

a) 4 h

b) 3 h

c) 2,5 h

d) 1,5 h

e) 0,5 h

Solução 1:  Antes de mais nada, é fundamental notar que, ao passarmos o modo de gravação de SP para LP, o tempo que resta na fita é dobrado, pois 2 x 2 = 4.

Da mesma forma, ao passarmos o modo de gravação de LP para EP, o tempo que resta na fita é multiplicado por 1,5, pois 4 x 1,5 = 6.

Posto isso, vamos lá:

1º)  Gravou 1 hora em SP → ainda restaria 1 hora em SP que se tornará 2 horas ao mudar para LP;

2º)  Gravou 1 hora em LP → ainda restaria 1 hora em LP que se tornará 1,5 h em EP.

Solução 2:  1º)  Se foi gravado 1 hora em SP, então se gravou 1/2 da fita;

2º)  Se depois foi gravado 1 hora em LP, então se gravou 1/4 da fita;

3º)  Já foi gravada 1/2 + 1/4 = 3/4 da fita;

4º)  Ainda resta na fita o equivalente a 1/4  da mesma, que será gravada 

em EP.

5º)  Em 1 h, o sistema EP grava 1/6 da fita.  Temos a seguinte regra de três:

Fração da fita       Tempo

1/6                            1                 

1/4                            x

x/6 = 1/4  → x = 6/4 da hora, ou 1,5 h.

GABARITO:  D