Prof. Bruno Leal Resolve - CXII - Problemas do Primeiro Grau

Nessa postagem, vou apresentar-lhes alguns problemas que são resolvidos através de equações ou sistemas de equações do primeiro grau um pouco mais difíceis do que os usualmente abordados nos cursinhos e colégios, sempre parecidos entre si.  Espero que gostem, bons estudos!

01)  Às cinco horas da tarde da última sexta-feira, uma em cada três salas de aula da Universidade Leal estava vazia.  Se em 68 salas havia aulas, o total de salas de aula da Universidade é:

Solução:  Num conjunto de 3 salas, uma estava vazia e 2, cheias.  Logo, sendo x o total de salas, podemos escrever que 2x/3 = 68 → 2x = 204 → x = 102.

GABARITO:  102

02)  Comprei duas caixas de morangos.  Na primeira caixa, um quarto dos morangos estavam estragados.  Na segunda caixa, que continha um morango a mais do que a primeira, somente um quinto dos morangos estavam estragados.  Se no total 69 morangos estavam bons, o total de morangos estragados era:

Solução:  1)  Primeira caixa → total:  x morangos, sendo x/4 estragados e 3x/4 bons;

2)  Segunda caixa → total:  x + 1 morangos, sendo (x + 1)/5 estragados e 4(x + 1)/5 bons;

3)  Ao todo, 69 morangos bons:  3x/4 + (4x + 4)/5 = 69 →  15x + 16x + 16 = 1380 → 31x = 1364 → x = 44;

4)  Logo, havia 44/4 + (44 + 1)/5 = 11 + 9 = 20 morangos estragados.

GABARITO:  20

03)  A carga do telefone celular de Gustavo é suficiente para 9 h em stand-by ou 1,5 h em ligações.  Se o telefone dele descarregou em 8 h, ele esteve em ligações durante quantos minutos?

Solução:  1)  A carga em stand-by dura 6 vezes mais do que em ligações, haja vista que 9 : 1,5 = 6;

2)  Se o telefone esteve em ligações durante x minutos, a bateria poderia ainda ter durado (90 – x) min fazendo ligações.  Note que 1,5 h = 90 minutos;

3)  Esse tempo, 90 – x minutos, corresponde ao tempo em que o telefone na verdade ficou em stand-by.  Portanto, ao ficar em stand-by, o tempo de duração da bateria é multiplicado por 6, conforme vimos no primeiro passo;

4)  Lembrando que 8 h = 480 min,  podemos escrever que x + 6(90 – x) = 480 →
x + 540 – 6x = 480 →  60 = 5x  →  12 = x.

GABARITO:  12 min

04)  Ao término de 1994, Augusto possuía a metade da idade de sua avó.  Sabendo que a soma dos anos em que eles nasceram é 3838, quantos anos possuirá Augusto em 2016?

Solução:  Sendo x a idade de Augusto em 1994, isso significa que ele nasceu no ano (1994 – x).

Da mesma forma, sendo 2x a idade da avó dele em 1994 (Augusto possuía a metade da idade da avó naquele ano), ela nasceu no ano (1994 – 2x).

Podemos escrever que 1994 – x + 1994 – 2x = 3838 → 150 = 3x → 50 = x.

Logo, em 2016, Augusto terá 50 + 22 = 72 anos.

GABARITO:  72

05)  Um agricultor, trabalhando sozinho, capina um certo terreno em 10 h.  Sua esposa, trabalhando sozinha, capina o mesmo terreno em 12 h.  Após o agricultor e sua esposa capinarem o terreno durante 1 h, recebem a ajuda de sua filha e então os três terminam de capinar o terreno em 3 h.  O número de horas necessárias para que a filha sozinha capine o terreno é igual a:

Solução:  Esse exercício é uma variação do famoso “Problema das Torneiras”, que tanto cai nas mais diversas provas de concursos.  O ideal nesse tipo de problema é sabermos o que acontece no chamado “tempo unitário”, no caso, em 1 h:

1)  O agricultor capina tudo em 10 h → em 1 h, ele capina 1/10 do terreno;

2)  Sua esposa capina tudo em 12 h → em 1 h, ela capina 1/12 do terreno;

3)  Juntos, em 1 h, os dois capinam 1/10 + 1/12 = 11/60 do terreno. 

4)  Resta capinar 60/60 – 11/60 = 49/60 do terreno;

5)  A filha do agricultor capina tudo em x h → em 1 h, ela capina 1/x do terreno;

6)  Em 3 h, os três capinam juntos os 49/60 restantes. 

Logo:  3 . (1/10 + 1/12 + 1/x) = 49/60 → 3/10 + 1/4 + 3/x = 49/60

→ multiplicando todas as frações pelo mmc(10, 4, x, 60) = 60 x

→ 18x + 15x + 180 = 49x → 180 = 16x

→ x = 180/16 = 45/4 = 11,25 h.

GABARITO:  11, 25 h

06)  Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou a seguinte decisão:  dividiria sua fortuna de 20 milhões de reais entre sua filha, que estava grávida, e a prole desta gravidez, cabendo a cada criança que fosse nascer o dobro que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino e o triplo do que caberia à mãe, se fosse do sexo feminino.  Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma menina.  A parte que coube à menina foi:

Solução:  Sendo x a parte que cabe à mãe, podemos chamar de 2x a parte de cada menino e 3x, a da menina.

Logo:  x + 2x + 2x + 3x = 20 M → 8x = 20 M → x = 7,5 milhões.

GABARITO:  7,5 milhões de reais

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Prof. Bruno Resolve - CXI - Mais questões recentes da FGV

[Médias] (Fiscal de Posturas - Pref. Niterói - FGV/2015) A média das idades dos cinco jogadores mais velhos de um time de futebol é 34 anos. A média das idades dos seis jogadores mais velhos desse mesmo time é 33 anos.

A idade, em anos, do sexto jogador mais velho desse time é:

(A) 33;

(B) 32;

(C) 30;

(D) 28;

(E) 26.

Solução: 1) (a + b + c + d + e) / 5 = 34

a + b + c + d + e = 34 . 5 = 170;

2) (a + b + c + d + e + f) / 6 = 33

Como a + b + c + d + e = 170, substituindo na igualdade acima, vem: (170 + f) / 6 = 33

170 + f = 198

f = 28.

GABARITO: D

[Probabilidade] (Fiscal de Posturas - Pref. Niterói - FGV/2015) Uma urna contém apenas bolas brancas e bolas pretas. São vinte bolas ao todo e a probabilidade de uma bola retirada aleatoriamente da urna ser branca é 1/5.  Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas é:

Solução: 1) Se há 20 bolas ao todo e a probabilidade de ser retirada uma bola branca é 1/5, então há 20 : 5 = 4 bolas brancas e 20 - 4 = 16 pretas;

2) Logo, a probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas é 16/20 x 15/19 = 4/5 x 15/19 = 12/19.

[Sequências] (Fiscal de Posturas - Pref. Niterói - FGV/2015) A sequência 2, 2, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 2, 2, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 2, ... mantém o padrão apresentado indefinidamente. A soma dos 2015 primeiros termos dessa sequência é:

(A) 7560;

(B) 7555;

(C) 7550;

(D) 7545;

(E) 7540.

Solução: 1) A sequência possui um grupo de 8 algarismos que se repete indefinidamente: 2, 2, 1, 5, 5, 5, 5, 5. A soma dos algarismos em cada grupo é 2 + 2 + 1 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30.

2) Dividindo 2015 por 8, obtemos quociente 251 e resto 7. Isso quer dizer que escrevemos o grupo 2, 2, 1, 5, 5, 5, 5, 5 um total de 251 vezes, e ainda os 7 termos iniciais do que seria a 252ª repetição.

3) Logo, a soma pedida é 251 x 30 + 2 + 2 + 1 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7555.

GABARITO: B

[Áreas] (Fiscal de Posturas - Pref. Niterói - FGV/2015) Um triângulo e um quadrado têm perímetros iguais. Os lados do triângulo medem 7,3 m, 7,2 m e 5,5 m. A área do quadrado, em metros quadrados, é:

(A) 20,00;

(B) 22,50;

(C) 25,00;

(D) 25,60;

(E) 26,01.

Solução: 1) Perímetro do triângulo: 7,3 + 7,2 + 5,5 = 20 m;

2) Perímetro do quadrado: 20 : 4 = 5 m;

3) Área do quadrado: 5 x 5 = 25 metros quadrados.

GABARITO: C

[Operações Fundamentais] (Fiscal de Posturas - Pref. Niterói - FGV/2015) Pablo compra balas no atacado a R$ 24,00 o quilo e revende essas balas em pequenos pacotes de 50 gramas cada um a R$ 2,00 o pacote. No mês de setembro, Pablo teve um lucro de R$ 1.000,00 com a venda dessas balas. A quantidade, em quilos, que Pablo vendeu dessas balas em setembro foi:

(A) 120;

(B) 104,5;

(C) 88,5;

(D) 62,5;

(E) 60.

Solução: 1) Note que 1kg = 1000 g, logo, cada quilo de balas comprado permitiu fazer 1000 : 50 = 20 pacotes.

2) Esses 20 pacotes geram uma receita de 20 x 2 = 40 reais e um lucro de 40 - 24 = 16 reais. Ou seja, cada quilo vendido gera um lucro de 16 reais.

3) Como o lucro foi de 1000 reais, a quantidade de quilos pedida é 1000 : 16 = 62,5.

GABARITO: D

[O Primeiro Grau] (Fiscal de Posturas - Pref. Niterói - FGV/2015) Mauro comprou duas canetas e três borrachas por R$ 37,50. Fátima comprou, na mesma loja, três canetas e quatro borrachas por R$ 54,00. Nessa loja todas as canetas têm o mesmo preço; também têm o mesmo preço todas as borrachas. Nessa mesma loja, cinco canetas e duas borrachas custam:

(A) R$ 87,50;

(B) R$ 82,00;

(C) R$ 77,00;

(D) R$ 74,50;

(E) R$ 69,00.

Solução: 1) Podemos escrever que 2c + 3b = 37,50 e 3c + 4b = 54.

Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda por 2, temos:

6c + 9b = 112,50 e 6c + 8b = 108.

2) Subtraindo a segunda equação da primeira, vem: (6c - 6c) + (9b - 8b) = 112,50 - 108 → b = 4,50.

3) Logo: 3c + 4b = 54 → 3c + 4 . 4,50 = 54 → 3c + 18 = 54 → 3c = 36 → c = 12.

4) Daí, 5c + 2b = 5 . 12 + 2 . 4,50 = 69 reais.

GABARITO: E

[Números Racionais] (Fiscal de Posturas - Pref. Niterói - FGV/2015) Fidípides caminhou durante 2 horas e 15 minutos a uma velocidade constante de 8 km/h e, a seguir, correu durante 1 hora e 40 minutos a uma velocidade constante de 15 km/h. A distância total percorrida por Fidípides, em quilômetros, foi:

(A) 43;

(B) 42;

(C) 41;

(D) 40;

(E) 39.

Solução: 1) Note que 15 minutos é a quarta parte de 1 hora. Logo, na primeira etapa ele percorreu 2 x 8 + 8 : 4 = 18 km;

2) Note agora que 40 min equivalem a 2/3 de 60 min: 40/60 = 4/6 = 2/3.

Assim, na segunda etapa ele percorreu 15 + 2/3 . 15 = 15 + 10 = 25 km.

Ao todo, 18 + 25 = 43 km.

GABARITO: A

[O Primeiro Grau] (Fiscal de Posturas - Pref. Niterói - FGV/2015) A idade de Pedro hoje, em anos, é igual ao dobro da soma das idades de seus dois filhos, Paulo e Pierre. Pierre é três anos mais velho do que Paulo. Daqui a dez anos, a idade de Pierre será a metade da idade que Pedro tem hoje. A soma das idades que Pedro, Paulo e Pierre têm hoje é:

(A) 72;

(B) 69;

(C) 66;

(D) 63;

(E) 60.

Solução: 1) Podemos montar as seguintes equações:

pe = 2(pa + pi);

pi = pa + 3;

pi + 10 = pe / 2.

2) Vamos isolar pa na segunda equação: pi - 3 = pa.

3) Substituindo pa por pi - 3 na primeira equação, temos:

pe = 2(pi - 3 + pi) → pe = 2(2pi - 3) → pe = 4pi - 6;

4) Substituindo pe por 4pi - 6 na terceira equação, vem:

pi + 10 = (4pi - 6) / 2 →

2(pi + 10) = 4pi - 6 →

2pi + 20 = 4pi - 6 →

26 = 2pi → 13 = pi.

5) Logo, pe = 4 . 13 - 6 = 46 e pa = 13 - 3 = 10.

6) A soma pedida é 13 + 46 + 10 = 69.

GABARITO: B

Prof. Bruno Leal Resolve - CVI - Diversas questões do BNDES - CESGRANRIO

(Administrador – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Suponha que no banco em que Ricardo trabalha, ele faça parte de um grupo de quatro administradores e que no mesmo banco existam também cinco economistas. Será formado um comitê composto por três administradores e três economistas, todos escolhidos aleatoriamente. Qual é a probabilidade de o comitê formado ter Ricardo como um dos componentes?
(A) 0
(B) 0,25
(C) 0,50
(D) 0,75
(E) 1

Solução:  1)  Vamos encontrar o total de comitês possíveis: 
Escolher 3 administradores dentre 4 → C_4,3 = 4;
Escolher 3 economistas dentre 5 → C_5,3 = 10;
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 4 x 10 = 40 comitês.

2)  Vamos encontrar o total de comitês que nos interessam:
Escolher 2 administradores dentre 3 (note que estamos “forçando” o Ricardo a ser um dos escolhidos) → C_3,2 = 3;
Escolher 3 economistas dentre 5 → 10;
Pelo PFC, há 3 x 10 = 30 comitês.

3)  Pela definição de probabilidade:  p = 30/40 = 3/4 = 0,75.

Note que não havia necessidade de calcular os 10 economistas.

GABARITO:  D

(Técnico Administrativo – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Progressões aritméticas são sequências numéricas nas quais a diferença entre dois termos consecutivos é constante. A sequência (5, 8, 11, 14, 17, ..., 68, 71) é uma progressão aritmética finita que possui
(A) 67 termos
(B) 33 termos
(C) 28 termos
(D) 23 termos
(E) 21 termos

Solução 1:  Nessa PA, temos:  a₁ = 5, a_n = 71 e r = 8 – 5 = 3.  A incógnita é n, a quantidade de termos da PA.

Pela Fórmula do Termo Geral, vem:  a_n = a₁ + (n – 1).r → 71 = 5 + (n – 1) . 3 → 66 = (n – 1) . 3 → 22 = n – 1 → 23 = n.

Solução 2:  A quantidade de termos é dada por Q = (M – m) : “pulos” + 1, sendo M, o maior número, m, o menor e os pulos, a razão da PA.  É assim que explico para as crianças que prestam concurso pro Colégio Militar.

Logo:  Q = (71 – 5) : 3 + 1 → 66 : 3 + 1 = 22 + 1 = 23.

GABARITO:  D

(Técnico Administrativo – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Dentro de um pote, há 5 bombons embrulhados em papel azul, 6 embrulhados em papel vermelho, e 7 embrulhados em papel verde. Quantos bombons, no mínimo, devem ser retirados do pote, sem que se veja a cor do papel, para se ter certeza de haver retirado dois bombons embrulhados em papéis de cores diferentes?
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 7
(E) 8

Solução:  Como há 3 cores diferentes, a pior possibilidade consiste em se retirar 3 bombons, sendo 1 de cada cor.  Ao se retirar o quarto bombom, com certeza absoluta, haverá coincidência em uma das cores.

GABARITO:  B

(Técnico Administrativo – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Seja x um número natural tal que o mínimo múltiplo comum entre x e 36 é 360, e o máximo divisor comum entre x e 36 é 12. Então, a soma dos algarismos do número x é
(A) 3
(B) 5
(C) 9
(D) 16
(E) 21

Solução:  Sabe-se que, para dois números naturais a e b, tem-se:   mmc(a, b) . mdc(a,b) = a . b.
No caso, a = 36, b = x, mmc = 360 e mdc = 12.  Logo:  360 . 12 = 36 . x → simplificando ambos os membros por 36 → 10 . 12 = x → 120 = x.
Portanto, a soma dos algarismos de x é 1 + 2 + 0 = 3.

GABARITO:  A

(Técnico Administrativo – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Mariana e Laura compraram um saco com 120 balas que custava R$ 7,50. Laura contribuiu com R$ 4,50, e Mariana, com o restante. Se as balas forem divididas em partes diretamente proporcionais ao valor pago por cada menina, com quantas balas Mariana ficará?
(A) 36
(B) 48
(C) 54
(D) 72
(E) 96

Solução:  1)  O peso da Mariana é 7,50 – 4,50 = 3,00;
2)  Soma dos pesos:  7,50;
3)  Constante de proporcionalidade:  k = 120 : 7,50 → k = 16;
4)  Parte da Marina:  16 . 3 = 48.

GABARITO:  B

(Técnico Administrativo – BNDES – CESGRANRIO/2013)  Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco. De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais?
(A) 13
(B) 14
(C) 16
(D) 17
(E) 18

Solução:  Precisamos dividir o problema em 3 casos:
1)  A cor do texto é preta:  há 5 possibilidades para a cor do papel;
2)  A cor do texto é vermelha:  há 5 possibilidades para a cor do papel;
3)  A cor do texto é branca:  há 6 possibilidades para a cor do papel;
Logo, ao todo, há 5 + 5 + 6 = 16 possibilidades.

GABARITO:  C

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Prof. Bruno Leal Resolve - CIV - Questões Recentes da Banca AOCP

(Analista Administrativo – AOCP/2015)  Uma pesquisa de opinião foi feita com certo grupo de pessoas. 30% dos entrevistados responderam SIM à pesquisa e 140 pessoas responderam NÃO. O número de pessoas pesquisadas é
(A) 60. (B) 70. (C) 120. (D) 140. (E) 200.

Solução:  Se 30% responderam SIM, então 70% responderam NÃO (supondo que só havia essas duas opções de resposta).  Logo:

70% → 140 pessoas;
10% → 140 : 7 = 20 pessoas;
100% → 20 x 10 = 200 pessoas.

GABARITO:  E

[Lógica da Argumentação]  (Analista Administrativo – AOCP/2015)  Se LEÃO, então VACA. Se VACA, então PORCO. Se PORCO, então PATO. Sabe-se que NÃO PATO, então 

(A) PORCO e NÃO VACA. (B) VACA e NÃO PORCO. (C) LEÃO e VACA. (D) VACA. (E) NÃO LEÃO

Solução:  1)  O terceiro condicional, Se porco, então pato, é equivalente ao condicional Se não pato, então não porco.  Logo, sabemos agora que “não porco” é correto;

2)  O segundo condicional, Se vaca, então porco, é equivalente ao condicional Se não porco, então não vaca.  Portanto, sabemos também que “não vaca” é verdade;

3)  O primeiro condicional, Se leão, então vaca, é equivalente a Se não vaca, então não leão.  Daí, descobrimos ser verdade “não leão”.

GABARITO:  E

(Analista Administrativo – AOCP/2015)  Em um baralho com 52 cartas, 4/13 do total correspondem a cartas com letras. Destas cartas com letras, 3/4 são consoantes. O número de cartas com vogais corresponde a que fração do baralho?
(A) 1/13 (B) 2/13 (C) 3/13 (D) 4/13 (E) 5/13

Solução:   Se 3/4 das cartas com letras são consoantes, o restante, 1/4 das cartas com letras, são vogais.  Logo, a fração pedida é 1/4 x 4/13 = 1/13.

GABARITO:   A

(Analista Administrativo – AOCP/2015)  Em uma sala de aula de ensino médio, 44 alunos escrevem com a mão direita e 12 escrevem com a mão esquerda. Sabendo que o número total de alunos é 50, o número de pessoas que escrevem apenas com a mão direita é
(A) 40. (B) 38. (C) 35. (D) 29 (E) 17.

Solução:  Admitindo que todos saibam escrever (ser aluno do EM não é garantia disso no Brasil), então há (44 + 12) – 50 = 6 alunos que sabem escrever com as duas mãos.

Sendo assim, há 44 – 6 = 38 alunos que só escrevem com a mão direita.

GABARITO:  B

(Analista Administrativo – AOCP/2015)  Observe a sequência a seguir em que todos os múltiplos de quatro são omitidos e, em seu lugar, aparece a “palavra” PIM: (1, 2, 3, PIM, 5, 6, 7, PIM, 9, 10, 11, PIM, ...).

O 20º PIM ocupa o lugar em que deveria aparecer o número
(A) 20. (B) 4. (C) 40. (D) 80. (E) 100.

Solução:  O enunciado já nos diz o que fazer:  encontrar o vigésimo múltiplo positivo de 4, que é ninguém mais, ninguém menos do que o 4 x 20 = 80.

GABARITO:  D

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Prof. Bruno Leal Resolve - C - Questões de Auxiliar de Adm. da UFRJ

01.  [Porcentagem]  (Auxiliar em Adm./UFRJ/2015)  O preço de um medicamento na farmácia SAÚDE é de R$ 160,00. Entretanto, se o comprador possuir o cartão do fabricante, recebe um desconto de 35%. Com o desconto, o preço deste medicamento na farmácia SAÚDE será de:
A) R$ 56,00 B) R$ 159,65 C) R$ 104,00 D) R$ 125,00 E) R$ 95,00

Solução:  1)  10% de 160 = 16, logo, 5% = 8;
2)  30% de 160 = 16 x 3 = 48 e 35%, 48 + 8 = 56 reais;
3)  Preço após o desconto:  160 - 56 = 104 reais.

GABARITO:  C

02.  [O Primeiro Grau]  (Auxiliar em Adm./UFRJ/2015)  Sílvia levou 20 minutos a menos para digitar a mesma quantidade de páginas em seu segundo dia de trabalho. Sabendo que nos dois primeiros dias ela levou 10 horas e 10 minutos digitando, o tempo que ela levou nessa atividade em seu primeiro dia foi:
A) 4 horas e 50 minutos. B) 5 horas e 35 minutos. C) 5 horas e 15 minutos. D) 5 horas e 05 minutos. E) 4 horas e 55 minutos.

Solução:  1)  Sendo x o tempo, em minutos,  gasto no primeiro dia de trabalho, podemos escrever que o tempo gasto no segundo dia é igual a (x - 20) minutos.
2)  1h = 60 min, logo, 10h 10 min = 610 min;
3)  Logo, x + x - 20 = 610 → 2x = 630 → x = 315 min, ou seja, 5h 15 min.

GABARITO:  C

03.  [Porcentagem]  (Auxiliar em Adm./UFRJ/2015)  O preço de uma determinada marca de geladeira para pagamento à vista com boleto bancário é de R$ 1.406,00. Neste valor já está embutido o desconto de 5% que é oferecido pela loja para pagamentos desta forma. Sem o desconto, o preço desta geladeira é:
A) R$ 1.335,70 B) R$ 1.456,00 C) R$ 1.476,30 D) R$ 1.356,00 E) R$ 1.480,00

Solução:  Podemos montar a seguinte Regra de Três:
R$            %
1406         95 → lembrando que esse já é o valor do boleto com desconto de 5%
x              100

95x = 140600 → x = 1480 reais.

GABARITO:  E

04.  [O Primeiro Grau]  (Auxiliar em Adm./UFRJ/2015)  Uma instituição de caridade irá distribuir um estojo para cada criança e, para tal, comprou lápis, canetas e borrachas. O número de lápis é 3/5 do número de canetas, que por sua vez é o dobro do número de borrachas. O número total desses objetos é 168, logo o número de lápis é:
A) 24 B) 34 C) 48 D) 40 E) 80

Solução:  Sendo L, c e b o número de lápis, canetas e borrachas, podemos escrever que:
1)  L + c + b = 168

2)  L = 3c/5

3)  c = 2b

4)  Substituindo, na segunda equação, c por 2b, vem:  L = 3 . 2b/5 → L = 6b/5;

5)  Substituindo, na primeira equação, L por 6b/5 e c por 2b, temos:
6b/5 + 2b + b = 168 → multiplicando todos os termos por 5 → 6b + 10b + 5b = 168 . 5 →
21b = 168 . 5 → simplificando ambos os membros por 21 → b = 8 . 5 → b = 40.

6)  Logo, L = 6 . 40 / 5 → 6 . 8 = 48.

GABARITO:  C

5)  [Operações Fundamentais]  (Auxiliar em Adm./UFRJ/2015)  Numa seção de ensino são registradas e verificadas as inscrições em disciplinas dos alunos de um certo curso. Em cada período os alunos se inscrevem em 6 disciplinas. Após as inscrições, os funcionários da seção de ensino devem verificar se houve algum erro ou anormalidade na inscrição em cada disciplina. Cada funcionário leva 30 segundos para verificar a inscrição em cada disciplina em que o aluno se inscreveu. Sabe-se que nesta seção trabalham 5 funcionários e que, neste período, 300 alunos se inscreveram em disciplinas. O tempo mínimo que, neste período, esta seção de ensino levará para verificar todas as inscrições em disciplinas de todos alunos será de:
A) 3 horas e 30 minutos. B) 5 horas. C) 4 horas e 30 minutos. D) 3 horas. E) 4 horas.

Solução:  1)  Cada funcionário é responsável por 300 : 5 = 60 alunos, ou seja, 60 x 6 = 360 verificações;
2)  Cada verificação demanda 30 s, logo, cada funcionário precisa de 360 x 30 = 10800 s para realizar seu serviço;
3)  Como os 5 funcionários trabalham simultaneamente, e lembrando que 1 h = 60 min = 3600 s, temos que a resposta é 10800 : 3600 = 3 h.

GABARITO:  D

6)  [Porcentagem]  (Auxiliar em Adm./UFRJ/2015)  O Departamento de Recursos Humanos de uma empresa entrevistou pessoas pretendentes a um emprego, sendo 1/4 a razão entre o número de aprovados e o número de reprovados na entrevista. Com base nessa informação, pode-se dizer que a porcentagem de aprovados do total de entrevistados foi:
A) 40% B) 30% C) 20% D) 35% E) 25%

Solução:  Vamos SUPOR que haja apenas 1 pessoa aprovada e 4 reprovadas.  Logo, há, nessa suposição, 5 pessoas entrevistadas.  A razão entre os aprovados e o total de entrevistados é, pois, de 1/5 = 20%.

GABARITO:  C

7)  [Raciocínio Lógico]  (Auxiliar em Adm./UFRJ/2015)  Em uma empresa há 200 funcionários. Sabe-se que dos funcionários dessa empresa 120 são homens e 150 têm menos de 45 anos. Com base nessas informações, o menor número possível de funcionários homens com menos de 45 anos nessa empresa é:
A) 70 B) 30 C) 50 D) 80 E) 120

Solução:  1)  Se há 120 homens, então há 200 - 120 = 80 mulheres;
2)  Se há 150 pessoas têm menos de 45 anos, então há 200 - 50 = 150 com 45 anos ou mais;
3)  Se TODAS AS MULHERES tiverem menos de 45 anos, então a quantidade de homens com menos de 45 anos será mínimo.  Logo, tal número é 150 - 80 = 70.

GABARITO:  A

Prof. Bruno Leal Resolve - XCVIII - Diversas questões de Auditor-Fiscal

[Polígonos]  (Auditor-Fiscal da Receita Federal/ESAF/2014)  Um polígono regular possui 48 diagonais que não passam pelo seu centro. A partir desta informação, pode-se concluir que o número de lados desse polígono é igual a:
a) 12 b) 36 c) 24 d) 48 e) 22

Solução:  1)  Sendo n o número de lados do polígono, temos que o total de diagonais é n(n – 3)/2 e o total de diagonais que PASSAM pelo centro é n/2, se n for par ou zero, se n for ímpar.

O total de diagonais que não passam pelo centro é a diferença entre as duas fórmulas.

Logo:  n(n – 3)/2 – n/2 = 48 → n² – 3n – n = 96 → n² – 4n = 96 → colocando n em evidência → n(n – 4) = 96.

Lembrando que n é inteiro, positivo, e maior que 2 e notando que 96 = 12 x 8 , temos:

n(n – 4) = 12 . 8 → como 8 = 12 – 4, n = 12.  O polígono em questão é o dodecágono.

GABARITO:  A

[Raciocínio Lógico]  (Auditor-Fiscal da Receita Federal/ESAF/2014)  Se é verdade que alguns adultos são felizes e que nenhum aluno de matemática é feliz, então é necessariamente verdade que:
a) algum adulto é aluno de matemática.
b) nenhum adulto é aluno de matemática.
c) algum adulto não é aluno de matemática.
d) algum aluno de matemática é adulto.
e) nenhum aluno de matemática é adulto

Solução:  Os adultos que são felizes não podem ser aluno de matemática, pois nenhum aluno de matemática é feliz.    Cuidado com a letra E, pois há adultos infelizes.

GABARITO:  C

[Raciocínio Lógico]  (Auditor-Fiscal da Receita Federal/ESAF/2014)  Ana está realizando um teste e precisa resolver uma questão de raciocínio lógico. No enunciado da questão, é afirmado que: “todo X1 é Y. Todo X2, se não for X3, ou é X1 ou é X4. Após, sem sucesso, tentar encontrar a alternativa correta, ela escuta alguém, acertadamente, afirmar que: não há X3 e não há X4 que não seja Y. A partir disso, Ana conclui, corretamente, que:

a) todo Y é X2.
b) todo Y é X3 ou X4.
c) algum X3 é X4.
d) algum X1 é X3.
e) todo X2 é Y.

Solução:  A questão assusta, mas é relativamente fácil.  A última afirmação é equivalente a “todo X4 é Y”.  Como não existem X3 e todo X1 e todo X4 são Y, conclui-se que todo X2 é Y.

GABARITO:  E

[Proporções]  (Auditor-Fiscal da Receita Federal/ESAF/2014)  Duas estudantes de química, Sara e Renata, estão trabalhando com uma mistura de amônia e água. Renata está trabalhando com a mistura de amônia e água, na proporção de 5:9, ou seja: 5 partes de amônia para 9 partes de água. Sabe-se que Sara está trabalhando com a mistura de amônia e água na proporção de 8:7, ou seja: 8 partes de amônia para 7 partes de água. Desse modo, para se obter uma mistura de amônia e água na proporção de 1:1, as misturas de Sara e Renata devem ser misturadas, respectivamente, na proporção:
 a) 8:15 b) 7:35 c) 30:7 d) 35:7 e) 32:5

Solução:  Vamos misturar x litros da mistura de Renata com y litros da mistura de Sara, obtendo uma mistura com (x + y) litros, contendo partes iguais de amônia e água.

Dos x litros da mistura de Renata, 5x/14 é amônia e 9x/14 é água (note que 5 + 9 = 14);

Dos y litros da mistura de Sara, 8y/15 é amônia e 7y/15 é água (note que 8 + 7 = 15);

“Misturando as misturas”, dos (x + y) litros, 5x/14 + 8y/15 é amônia e 9x/14 + 7y/15 é água.

As duas quantidades devem ser iguais, logo:  5x/14 + 8y/15 = 9x/14 + 7y/15 → y/15 = 4x/14 → y/15 = 2x/7;

O objetivo do exercício é encontrarmos y/x (cuidado para não confundir os nomes, pois ele pede a razão entre Sara e Renata).  Logo, y = 30x/7 → y/x = 30/7.

GABARITO:  C

[Juros Compostos]  (Auditor-Fiscal/Fortaleza/ESAF/2003)  O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação.

a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92

Solução:  1)  Taxa nominal de 24% a.a. com cap. mensal → taxa efetiva de 2% a.m.;

2)  M = 20000(1,02)¹⁸ → 20000 . 1,42824 → M = 28564,92.

GABARITO:  E

[Descontos Simples]  (Auditor-Fiscal/Fortaleza/ESAF/2003)  Um título no valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1.800,00 três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada.

a) 6% b) 5% c) 4% d) 3,3% e) 3%

Solução:  Como o desconto é comercial simples, podemos escrever que d = N . i . t, logo:  1800 = 20000 . i/100 . 3 → 1800 = 600 i → i = 3% a.m.

GABARITO:   E

[O Regime Composto]  (Auditor-Fiscal/Fortaleza/ESAF/2003)  Qual o capital hoje que é equivalente, a uma taxa de juros compostos de 10% ao semestre, a um capital de R$ 100.000,00 que venceu há um ano mais um capital de R$ 110.000,00 que vai vencer daqui a seis meses?

a) R$ 210.000,00 b) R$ 220.000,00 c) R$ 221.000,00 d) R$ 230.000,00 e) R$ 231.000,00

Solução:  1)  Vamos adotar como data zero 1 ano atrás, quando venceu o capital de 100000.  “Trazendo” esse capital para a data de hoje, ele “avançará” no tempo 12 meses = 2 semestres, passando a valer 100000(1,10)² = 121000 reais;

2)  O capital de 110000 reais, vencível em 6 meses = 1 semestre, “voltará no tempo”, valendo hoje 110000 : 1,1 = 100000 reais;

3)  Logo, a soma dos montantes é 221000 reais.

GABARITO:  C

[Raciocínio Lógico]  (Auditor-Fiscal/RJ/FCC/2014)  Suponha que sejam verdadeiras as seguintes informações: 

I. Todos os empregados da empresa Alfa são competentes.
II. Mário não trabalha na empresa Alfa.
III. André é competente.
IV. Alguns empregados da empresa Alfa são estudantes.
Então, é correto afirmar que
(A) todos os estudantes são competentes.
(B) existe pelo menos um estudante que é competente.
(C) André trabalha na empresa Alfa.
(D) Mário não é competente.
(E) existe pelo menos um estudante que não trabalha na empresa Alfa.

Solução:  A resposta certa é a B, pois os estudantes que trabalham na empresa Alfa certamente são competentes.

GABARITO:  B

Prof. Bruno Leal Resolve - XCVII - Mais questões recentes da VUNESP

[Progressão Aritmética]  (Auditor/Desenvolve SP/VUNESP/2014)  Aquele que dá 3 passos para a direita somará 1 + 3 + 5, e se der 5 passos para a direita somará 1 + 3 + 5 + 7 + 9. Ou seja, somará números ímpares consecutivos, partindo de 1, tantas parcelas quantos passos der. Aquele que dá 3 passos para a esquerda somará 2 + 4 + 6, e se der 4 passos para a esquerda somará 2 + 4 + 6 + 8. Ou seja, somará números pares consecutivos, partindo de 2, tantas parcelas quantos passos der. Agindo dessa maneira, a diferença entre a soma de quem deu 28 passos para a direita e a soma de quem deu 27 passos para a esquerda é 

(A) 4. (B) 27. (C) 28. (D) 35. (E) 117.

Solução:  Como “preliminares”, vamos encontrar uma maneira rápida de somarmos os n primeiros números pares positivos e os n primeiros números ímpares positivos:

Acompanhe os raciocínios:

n = 2 → 2 + 4 = 6 = 2 x 3;
n = 3 → 2 + 4 + 6 = 12 = 3 x 4;
n = 4 → 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 x 5;

Prova-se pelo Princípio da Indução Finita que a soma dos n primeiros números pares positivos é n(n + 1).  Logo, quem deu 27 passos para a esquerda somou os 27 primeiros números pares positivos.  Aplicando a fórmula acima, temos que tal soma é 27 x 28 = 756;

Agora, os ímpares:

n = 2 → 1 + 3 = 5 = 2 x 2;
n = 3 → 1 + 3 + 5 = 9 = 3 x 3;
n = 4 → 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 x 4;

Prova-se pelo Princípio da Indução Finita que a soma dos n primeiros números ímpares positivos é n x n = n².  Logo, quem deu 28 passos para a direita somou os 28 primeiros números ímpares positivos.  Aplicando a fórmula acima, temos que tal soma é 28 x 28 = 784.

Portanto, a diferença pedida é 784 – 756 = 28.

GABARITO:  C

[Teoria dos Conjuntos]  (Auditor/Desenvolve SP/VUNESP/2014)  Em relação aos conjuntos A, B e C e a um total de 58 elementos que pertencem a eles, sabe-se: que nenhum elemento pertence simultaneamente aos três conjuntos; que 13 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B; que 3 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos A e C; que 2 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos B e C; que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto C é 5 unidades a mais do que aqueles que pertencem apenas ao conjunto B; que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto A é 1 unidade a menos do que aqueles que pertencem apenas ao conjunto B. O número de elementos que pertencem apenas ao conjunto C é igual a:
(A) 46. (B) 31. (C) 24. (D) 17. (E) 12

Solução:  Denotando por n(A) o número de elementos de A, e por n’(A) o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto A, temos:  n(A ∪ B ∪ C) = n’(A) + n’(B) + n’(C) + n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).
Sendo:  n(A ∪ B ∪ C) = 58;
n(A ∩ B ∩ C) = 0;
n(A ∩ B) = 13;
n(A ∩ C) = 3;
n(B ∩ C) = 2;
n’(C) = n’(B) + 5;
n’(A)  = n’(B) – 1;
n’(B) = x
Logo, 58 = 13 + 3 + 2 + x + 5 + x – 1 + x + 0 → 58 = 3x + 22 → x = 12;
Logo, n’(C) = 12 + 5 = 17.  

GABARITO:  C

[Tabelas-Verdade]  (Auditor/Desenvolve SP/VUNESP/2014)  Considere as afirmações: 
I. A camisa é azul ou a gravata é branca. 
II. Ou o sapato é marrom ou a camisa é azul. 
III. O paletó é cinza ou a calça é preta. 
IV. A calça é preta ou a gravata é branca. 
Em relação a essas afirmações, sabe-se que é falsa apenas a afirmação IV. Desse modo, é possível concluir corretamente que 
(A) a camisa é azul e a calça é preta. 
(B) a calça é preta ou o sapato é marrom. 
(C) o sapato é marrom ou a gravata é branca. 
(D) a calça é preta e o paletó é cinza. 
(E) a camisa é azul ou o paletó é cinza.

Solução:  1)  “Volta de apresentação e aquecimento dos pneus”:  Uma disjunção inclusiva, ou apenas disjunção (p ou q) é falsa quando as duas proposições que a formam são falsas.  Se pelo menos uma delas for verdadeira, a disjunção é verdadeira.
Uma disjunção exclusiva (OU p OU q) é verdadeira se apenas uma das proposições for verdadeira. Se ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas, a disjunção exclusiva será falsa.

2)  Sabemos que IV é falsa.  Trata-se de uma disjunção.  Logo, as duas partes da mesma precisam ser falsas, portanto a calça NÃO É PRETA e a gravata NÃO É BRANCA.

3)  Repare a afirmação III:  trata-se de outra disjunção, que é verdadeira (só IV é falsa).  Mas uma de suas partes (a calça é preta) é FALSA (conforme vimos acima), por isso a outra parte precisa necessariamente ser verdadeira.  Logo, o paletó É CINZA.

4)  Vamos agora à afirmação I:  novamente uma disjunção verdadeira que apresenta uma de suas partes (a gravata é branca) sendo FALSA.  Daí conclui-se que a outra parte da disjunção precisa ser verdadeira necessariamente (como no item anterior).  Logo, a camisa É AZUL.
Nem precisamos analisar a afirmação II, pois já podemos cravar o gabarito como a letra E.

Não se esqueça que uma disjunção inclusiva é verdadeira se pelo menos uma de suas partes forem verdadeiras, podendo, inclusive, serem ambas as partes verdadeiras.


GABARITO:  E

Prof.Bruno Leal Resolve - XCV - Questões do TJ-SP

(Escrevente/TJ/SP/VUNESP/2014)  Norberto tomou dois empréstimos, que foram pagos após 2 meses com o acréscimo de juro simples. No primeiro, de certo valor, a taxa de juros foi de 1% ao mês. No segundo, de valor R$ 1.600,00 maior que o do primeiro, a taxa de juros foi de 1,5% ao mês. Sabendo que a soma dos juros pagos nos dois empréstimos foi igual a R$ 128,00, é correto afirmar que a soma dos valores desses dois empréstimos é igual a

(A) R$ 4.800,00. (B) R$ 4.000,00. (C) R$ 3.200,00. (D) R$ 4.600,00. (E) R$ 3.600,00.

Solução:  1)  Capital 1 = x; taxa 1 = 1% a.m. e prazo 1 = 2 meses.

Temos que o juro do primeiro empréstimo é dado por J₁ = x . 1/100 . 2 → 2x/100 reais;

2) Capital 2 = (x + 1600); taxa 2 = 1,5% a.m. e prazo 2 = 2 meses.

Logo, J₂ = (x + 1600) . 1,5/100 . 2 → (x + 1600) . 3/100 reais;

3)  Como a soma dos juros é 128 reais, vem:  2x/100 + 3(x + 1600)/100 = 128 →

2x + 3x + 4800 = 12800 → 5x = 8000 → x = 1600 reais.

4)  O capital 2 é 1600 + 1600 = 3200 reais e a soma de ambos os empréstimos, 1600 + 3200 = 4800 reais.

GABARITO:  A

(Escrevente/TJ/SP/VUNESP/2014)  Certa empresa produz diariamente quantidades iguais do produto P. Se essa empresa usar três medidas iguais do componente A em cada unidade do produto final P, serão necessárias 480 dessas medidas para suprir a produção de P durante 2 dias. Se passar a usar 2,5 medidas de A em cada unidade de P, o número de medidas de A necessário para suprir a produção de P, durante 5 dias, será igual a

(A) 1050. (B) 1000. (C) 1220. (D) 980. (E) 1140

Solução:  1) 1 unidade de P →  3 medidas do componente A

480 medidas → 480 : 3 = 160 unidades de P → 2 dias

480 medidas → 160 : 2 = 80 unidades de P → 1 dia

O objetivo é continuar produzindo 80 unidades de P por dia, dessa vez com 2,5 medidas de A.

2)  1 unidade de P → 2,5 unidades de A

80 unidades de P → 80 x 2,5 = 200 unidades de A → 1 dia

200 x 5 = 1000 unidades de A → 5 dias.

GABARITO:  B

(Escrevente/TJ/SP/VUNESP/2014)  Considere um reservatório com o formato de um paralelepípedo reto retângulo, com 2 m de comprimento e 1,5 m de largura, inicialmente vazio. A válvula de entrada de água no reservatório foi aberta por certo período, e, assim, a altura do nível da água no reservatório atingiu 50 cm, preenchendo 40% da sua capacidade total. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura desse reservatório, em metros, é igual a

(A) 1,75. (B) 1,25. (C) 1,65. (D) 1,50. (E) 1,35.

Solução:  1)  Nível da água:  50 cm = 0,5 m;

2)  Volume d’água:  2 x 1,5 x 0,5 = 1,5 metro cúbico, o que corresponde a 40% do volume total do reservatório;

3)  Logo, 10% do volume total é 1,5 : 4 = 0,375 metro cúbico e o volume total, 100%, é 0,375 x 10 = 37,5 metros cúbicos.

4)  Sendo x a altura procurada, temos que V = 37,5 → 2 . 1,5 . x = 37,5 → x = 1,25 m

GABARITO:  B

(Escrevente/TJ/SP/VUNESP/2014)  Considere a afirmação: “Se passei no exame, então estudei muito e não fiquei nervoso”. Do ponto de vista lógico, uma afirmação equivalente a essa é:

(A) Se estudei muito, então não fiquei nervoso e passei no exame.
(B) Se passei no exame, então não estudei muito e fiquei nervoso.
(C) Passei no exame porque quem estuda muito só pode passar.
(D) Se não fiquei nervoso, então passei no exame ou estudei muito.
(E) Se fiquei nervoso ou não estudei muito, então não passei no exame.

Solução:  Sabemos que o condicional p → q é equivalente a ~q → ~p, sendo ~p e ~q as negações de p e q, respectivamente.

O antecedente do condicional, p, é “passei no exame”.  Sua negação é “não passei no exame”.

O consequente, q, é “estudei muito E não fiquei nervoso”.  Note que se trata de uma conjunção.  Sua negação é “não estudei muito OU fiquei nervoso”.

Logo, a equivalência pedida é “Se não estudei muito ou fiquei nervoso, então não passei no exame”.

GABARITO:  E

(Escrevente/TJ/SP/VUNESP/2014)  Considere verdadeiras as afirmações:

•  Todos os cães latem.
•  Todos os cães possuem quatro patas.
•  Os gatos também possuem quatro patas.
•  Alguns seres humanos imitam os latidos dos cães.
•  Nem todos os cães mordem e alguns gatos arranham.

A partir dessas afirmações, pode-se concluir, corretamente, que
(A) alguns seres humanos imitam os miados dos gatos.
(B) os gatos que arranham assustam os cães que não mordem.
(C) os cães que latem possuem quatro patas.
(D) ou os gatos arranham ou os gatos miam.
(E) alguns cães não possuem quatro patas e não latem.

Solução:  A única alternativa que contém uma afirmação coerente com os dados é a letra C.

GABARITO:  C