Prof. Bruno Leal Resolve - LIX - Mais questões de Concursos para o Magistério

01.  (Professor de Matemática – Mesquita – RJ / 2006)  Letícia joga, de qualquer maneira, na mochila com que está viajando 4 pares de meias amarelas, 3 pares de meias azuis, 2 pares vermelhos e 2 pares verdes. Enfia a mão na mochila sem olhar com o objetivo de retirar um par de meias da mesma cor. Para ter certeza de que atingirá seu objetivo, o número mínimo de meias que deve retirar da mochila é:

Solução:  O pior caso possível é Letícia tirar 4 meias, uma de cada cor.  A quinta meia, necessariamente, irá coincidir com uma das 4 cores.  A resposta é, pois, 5 meias.

02.  (Professor de Matemática – Mesquita – RJ / 2006)  O centésimo algarismo depois da vírgula na representação decimal de 6/37 é:

Solução:  Dividindo 6 por 37, obtemos 0,162 162 162 ... ou seja, os algarismos se repetem de 3 em 3.  Dividindo 100 por 3, obtemos quociente 33 e resto 1.  Isto significa que escrevemos o ciclo 162 33 vezes e sobrou 1 algarismo, que seria o primeiro do ciclo de número 34.  Esse algarismo é o próprio 1.

03.  (Professor de Matemática – Japeri – RJ / 2013)  Um instituto tem, em seu cadastro, 10 professores de Matemática para participar da banca de concursos da instituição. Dentre os participantes, 3 são da cidade do Rio de Janeiro, 3 de Paracambi e 4 de Nilópolis. São necessários 3 professores para compor a banca. Sabendo-se que os professores são escolhidos de forma aleatória, a probabilidade de, escolhidos os três professores, pelo menos um ser de Nilópolis, é:

Solução:  Seja o evento “escolher 3 professores de Matemática para compor a banca”.  Isto pode ser feito de C_10,3 = 120 maneiras.  O que não pode acontecer é não ter na banca nenhum professor de Nilópolis, ou seja, só professores do Rio e de Paracambi, o que ocorre em C_6,3 = 20 casos.  Logo, em pelo menos 120 – 20 = 100 bancas, há pelo menos um de Nilópolis.  A probabilidade pedida é, pois, de 100/120 = 5/6.

04.  (Professor de Matemática – Japeri – RJ / 2013)  “A nova Lei Seca ajudou a reduzir o número de mortes nas estradas federais no feriado de Páscoa, mas a Polícia  Rodoviária Federal (PRF) ainda está em alerta para a principal causa de óbitos nas rodovias brasileiras: a colisão frontal. Em 2011, foram 2.652 mortes nesse tipo de acidente, 2.200 em zona rural.”

Segundo a reportagem o número mortes em acidentes desse tipo que ocorreram na zona rural em relação ao número total de mortes em 2011 nesse tipo de acidente representa aproximadamente:

Solução:  Basta fazermos 2200 / 2652 = 82,95%, aproximadamente 83%.

05.  (Professor de Matemática – Seropédica – RJ / 2013)  Um entregador de pizzas recebe semanalmente um salário que é composto de duas partes: uma parte fixa por ele estar à disposição da pizzaria, mais uma parte variável que é de acordo com o número de entregas que ele fez. A parte fixa é no valor de R$ 200,00, e a parte variável corresponde a R$ 5,00 por entrega. Supondo que o entregador fez 70 entregas em uma semana, qual será o valor do salário que irá receber?

Solução:  Irá receber 200 + 5 x 70 = 550 reais.

06.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  Um polígono regular de 16 lados tem a seguinte quantidade de diagonais:

Solução:  O total de diagonais é dado por d = n(n – 3) / 2, sendo n o número de lados do polígono.  Logo, d = 16(16 – 3) / 2 → 16 . 13 / 2  → 8 . 13 = 104.

07.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  Se w é o conjugado do número complexo z = 2 + 3i, então o produto w.z é igual a:

Solução:  O conjugado do complexo 2 + 3i é w = 2 – 3i.  O produto entre eles é (2 + 3i)(2 – 3i) = 2² – (3i)² = 4 + 9 = 13.

Lembre-se que i² = - 1, por definição.

08.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  Uma urna contém cinco cartões idênticos numerados de 1 a 5. Se sortearmos ao acaso, sucessivamente e com reposição, dois desses números, a probabilidade de que a soma seja maior ou igual a 8 é igual a:

Solução:  O total de casos de o evento “sortear 2 números” ocorrer é, pelo Princípio Fundamental da Contagem,  5 x 5 = 25 (lembre-se que o sorteio é com reposição).  Os casos favoráveis são sortear os números: 

5 e 5 → 5 + 5 = 10;

5 e 4 → 5 + 4 = 9;

5 e 3 → 5 + 3 = 8;

4 e 4 → 4 + 4 = 8.

Ou seja, há 4 casos favoráveis.  A probabilidade pedida é 4/25 = 16/100 = 16%.

09.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  Na sala de professores de uma escola estão reunidos quatro professores de matemática, seis de ciências e quatro de português. A diretora pede que seis desses professores – dois de cada disciplina – formem uma equipe para escrever um documento à Secretaria de Educação. O número de diferentes equipes que podem ser formadas é igual a:

Solução:  Podemos escolher os 2 professores de matemática de C_4,2 = 6 maneiras, os de ciências de C_6,2 = 15 maneiras e os de português, de C_4,2 = 6 maneiras.  Portanto, o número diferentes de equipes é, pelo Princípio Fundamental da Contagem, 6 x 15 x 6 = 540.

10.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)    Jorge contraiu um empréstimo de R$10.000,00 a uma taxa de juros (compostos) de 2% ao mês. Jorge pretende pagar R$3.000,00 ao final do primeiro mês, R$4.000,00, ao final do segundo, e o restante, ao final do terceiro mês.  O valor desta terceira parcela será igual a:

Solução:  No final do 1º mês, a dívida deixa de ser de 10.000 e passa a ser 10.000 x 1,02 = 10200 reais.  Como ele pagou 3000 reais, o saldo devedor é de 7200 reais.

No final do 2º mês, a dívida passa a ser de 7200 x 1,02 = 7344 reais.  Como pagou 4000, o saldo devedor é de 3344 reais.

No final do 3º mês, a dívida passa a ser de 3344 x 1,02 = 3410,88, que é o valor da terceira parcela para que a dívida seja liquidada.

11.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  A população de formigas em um formigueiro aumenta 20% a cada mês. Nesse caso, podemos afirmar que essa população aumenta, a cada mês, de acordo com uma progressão:

(A) geométrica de razão 1,2;

(B) geométrica de razão 0,2;

(C) aritmética de razão 20;

(D) aritmética de razão 2.

Solução:  Seja P a população inicial de formigas.  Após o primeiro aumento de 20%, a população passará a ser P x 1,2.

Após o segundo aumento de 20%,  população se tornará igual a P x 1,2  x 1,2.

Após o terceiro aumento, igual a P x 1,2 x 1,2 x 1,2, e assim por diante.

A sequencia de populações se caracteriza portanto por ser uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA de razão 1,2, letra (A).

12.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  Se f(x) = | – 4 – x | – | 3 – 2x |, x real, então f(3) é igual a:

Solução:  f(3) = | - 4 – 3| - |3 – 2.3| → |- 7| - |- 3| → 7 – 3 = 4.

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Prof. Bruno Leal Resolve - LVIII - Diversas questões de concursos para o Magistério

01.  (Professor de Matemática – Teresópolis – RJ / 2011)  Se Alvinho mentiu, então Alvinho foi reprovado. Assim:

(A) se Alvinho não mentiu então não foi reprovado;

(B) se Alvinho foi reprovado então Alvinho não mentiu;

(C) Alvinho mentiu ou foi reprovado;

(D) se Alvinho foi reprovado então Alvinho mentiu;

(E) se Alvinho não foi reprovado, então Alvinho não mentiu.

Solução:  O condicional  p → q é equivalente ao condicional ~q → ~p.  Portanto, se Alvinho mentiu, então Alvinho foi reprovado é equivalente a “Se Alvinho NÃO foi reprovado, então ele NÃO mentiu.”  Letra (E).

02.  (Professor de Matemática – Teresópolis – RJ / 2011)  A negação de “Paulinho é maestro e diretor” é:

(A) Paulinho não é maestro nem diretor;

(B) Paulinho não é maestro ou não é diretor;

(C) Paulinho é maestro ou não é diretor;

(D) Paulinho não é maestro ou é diretor;

(E) Paulinho é maestro ou é diretor.

Solução:  Negamos ambas as proposições simples que compõem a conjunção e trocamos o conectivo “e” pelo “ou”:  Paulinho NÃO é maestro OU NÃO é diretor.  Letra (B).

03.  (Professor de Matemática – Teresópolis – RJ / 2011)  Quando somamos as idades de Artur e Pedro, obtemos 60. Quando somamos as idades de Pedro e Túlio, obtemos 57. Já a soma das idades de Artur e Túlio é 53. A soma das idades dos três é igual a:

Solução:  Temos as seguintes igualdades: 

a + p = 60

p + t = 57

a + t = 53

Adicionando as 3 equações, obtemos:  2a + 2p + 2 t = 60 + 57 + 53 = 170 → simplificando ambos os membros por 2, temos:  a + p + t = 85.

04.  (Professor de Matemática / RJ / 2013)  A Direção Nacional do Sindicato SINDPROF é constituída por 6 professores e 4 técnicos administrativos. Um grupo de trabalho precisa ser formado, constituído por 4 pessoas da Direção Nacional, das quais pelo menos 2 destas 4 pessoas devem ser professores.  O número de grupos de trabalho distintos que podem ser formados é:

Solução:  Temos 3 casos possíveis:

1º)  Há 2 professores e 2 técnicos no grupo:  C_6,2 x C_4,2 = 15 x 6 = 90 possibilidades;

2º)  Há 3 professores e 1 técnico no grupo:  C_6,3 x 4 → 20 x 4 = 80 possibilidades;

3º)  Há 4 professores e nenhum técnico no grupo:  C_6,4 = 15 possibilidades.

O total de grupos que podem ser formados será, pois, 90 + 80 + 15 = 185.

Solução 2:  Vamos usar o Método Indireto:

1º)  Total de grupos possíveis sem restrições:  C_10,4 = 210;

2º)  O que não pode acontecer:  I)  Grupos sem professor:  1 possibilidade, escolhendo os 4 técnicos disponíveis para preencher as 4 vagas;

II)  Grupos com 1 professor e 3 técnicos:  6 x C_4,3 = 6 x 4 = 24.

3º)  Total de grupos que interessam:  210 – 1 – 24 = 185.

05.  (Professor de Matemática / RJ / 2013)  Um determinado desinfetante possui a seguinte instrução de uso: “Misturar em um recipiente 8 ml do produto para cada litro de água”. Joana colocou em um recipiente 1 litro de água e depois colocou, por engano, 14 ml do desinfetante. Ao perceber o erro, ela adicionou mais 500 ml de água. Joana errou novamente na proporção entre a água e o desinfetante. Para corrigir o erro, é necessário adicionar a esta última mistura uma quantidade de água, em mililitros, igual a:

Solução:  Se são 8 ml de desinfetante para cada 1 l = 1000 ml de água, então, para cada 1 ml de desinfetante, colocamos 1000 : 8 = 125 ml de água.  Como já temos 14 ml de desinfetante, precisamos ter 14 x 125 = 1750 ml de água.  Como ao todo temos 1500 ml de água, precisamos colocar ainda 1750 – 1500 = 250 ml de água.

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Prof. Bruno Leal Resolve - LVII - Diversas questões de concursos para o Magistério do RJ

01.  (Professor de Matemática / RJ / 2010)  No departamento de vendas de uma empresa trabalham 4 homens e 2 mulheres.  Destas 6 pessoas, um grupo de 3 pessoas deve ser escolhido de forma que possua pelo menos uma mulher.  O número de grupos diferentes que podem ser formados é:

Solução:  Vamos utilizar o “Método Indireto”:  O total de grupos sem qualquer restrição é dado por C­_6,3 = 20.  O que não servem são grupos formados exclusivamente por homens, num total de C_4,3 = 4 possibilidades.  Logo, há 20 – 4 = 16 grupos que podem ser formados.

02.  (Professor de Matemática / RJ / 2010)  Durante a noite, o dono de uma loja aumentou todos os preços em 20% e, no dia seguinte, anunciou um desconto de 30% em todos os produtos.  O desconto real que ele está oferecendo é de:

Solução:  Questão tradicionalíssima sobre variação percentual:  O valor final do produto é (100% + 20%)(100% - 30%) = 120/100 x 70/100 = 84/100 = 84% do valor inicial, o que acena para um desconto de 100% - 84% = 16%.

  

03.  (Professor de Matemática / RJ / 2010)  Em um grupo há 40 homens e 40 mulheres.  Sabe-se que 30% dos homens fumam e 6 mulheres fumam.  A porcentagem de fumantes no grupo é de:

Solução:  1º)  30% de 40 → 30/100 x 40 = 12 homens fumam

2º)  Total de fumantes:  12 +  6 = 18; total de pessoas:  40 + 40 = 80;

3º)  Porcentagem de fumantes:  18/80 = 0,225 = 22,5%.

04.  (Professor de Matemática / RJ / 2010)  As funcionárias de um departamento resolveram dividir igualmente entre si um presente para o diretor, que fazia aniversário.  O presente custava R$  120,00, mas, na hora de pagar, três funcionárias faltaram e, com isso, cada uma das presentes teve que dar mais R$ 2,00.  O número de funcionárias do departamento era:

Solução:  Sendo f o total de funcionárias e q a quantia que cada uma deu, podemos escrever que f . q = 120.

Como 3 faltaram, as (f – 3) funcionárias restantes teve que dar (q + 2) reais cada uma.  Logo (f – 3)(q + 2) = 120

Como f e q são números inteiros positivos (estamos admitindo que q seja), serão DIVISORES de 120. 

Note que 15 . 8 = 120 e que (15 – 3)(8 + 2) = 12 x 10 = 120.  Logo, f = 15.

05.  (Professor de Matemática / RJ / 2013)  Um professor da Rede Federal do Ensino Básico Técnico e Tecnológico, com regime de trabalho de 40h, em início de carreira, e sem pós-graduação, recebia, em abril de 2013, um vencimento básico de R$ 2714,89. O vencimento básico desse mesmo professor, e nas mesmas condições, sofrerá um reajuste já previsto em lei pelo Governo Federal e passará a ser de R$ 2764,45. Este reajuste será, aproximadamente, de:

A) 1,08%

B) 1,83%

C) 2,08%

D) 2,83%

E) 3,08%

Solução:  O aumento foi de 2764,45 – 2714,89 = 49,56 reais, o que representa 49,56 / 2714,89  0,01825  1,83%.

Se dividíssemos 50 por 2710 (arredondando convenientemente os valores) encontraríamos um valor aproximado de 0,1845, bem próximo do valor correto, com muito menos trabalho.

06.  (Professor de Matemática / FAETEC / RJ / 2010)   Dona Margarida comprou terra adubada para sua nova jardineira, que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são:  1 m de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura.  Sabe-se que 1 kg de terra ocupa um volume de 1,7 dm³.  Para encher totalmente a jardineira, a quantidade de terra necessária é de, aproximadamente:

Solução:  Vamos inicialmente converter todas as medidas para dm:

C = 1 m = 10 dm;

L = 25 cm = 2,5 dm;

A = 20 cm = 2 dm;

O volume será V = 10 x 2,5 x 2 = 50 dm³, o que demandará 50 x 1,7 = 85 kg de terra.

07.  (Professor de Matemática / FAETEC / RJ / 2010)  Uma máquina produziu 30 parafusos, dos quais 5 eram defeituosos.  Escolhendo-se ao acaso 2 parafusos dessa amostra, a probabilidade de os dois serem perfeitos é de:

Solução:  São 30 parafusos, sendo 5 defeituosos e 30 – 5 = 25 perfeitos.  Podemos escolher 2 parafusos de C_30,2 = 435.  O total de casos favoráveis é escolher 2 parafusos dentre os 25 perfeitos, o que pode ser feito de C_25,2 = 300 maneiras.  Logo, a probabilidade pedida é 300 / 435  0,6896  68,96%

Solução 2:  A probabilidade de o primeiro parafuso ser perfeito é 25/30, e a dos segundo, 24/29.  Logo, temos p = 25/30 x 24/29  0,6896  68,96%.

08.  (Professor de Matemática / RJ / 2010)  Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas, todas de mesmo tamanho e peso.  Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade de que sejam da mesma cor é de:

Solução:  1º)  Vamos supor que sacaremos 2 bolas brancas:  a probabilidade é p₁ = 2/5 x 1/4 = 2/20;

2º)  Vamos agora supor que sacaremos 2 bolas pretas:  a probabilidade é p₂ = 3/5 x 2/4 = 6/20;

3º)  Logo, a probabilidade pedida é 2/20 + 6/20 = 8/20 = 4/10 = 40%.

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Prof. Bruno Leal Resolve - LVI - Diversas questões da ESA

01.  (ESA/2009)  Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000?

Solução:  A quantidade de termos de uma sequencia é dada por Q = (L – l) : “pulos” + 1, sendo L o maior termo da sequencia e l, o menor.  Vamos por partes:

1º)  O menor múltiplo de 9 no intervalo é o 108 e o maior, 999.  Como os múltiplos de 9 se sucedem de 9 em 9, temos:  Q = (999 – 108) : 9 + 1 → Q = 100;

2º)  O menor múltiplo de 15 no intervalo é o 105 e o maior, 990.  Como os múltiplos de 15 se sucedem de 15 em 15, temos:  Q = (990 – 105) : 15 + 1 → Q = 60;

3º)  Não se esqueça que os MÚLTIPLOS COMUNS a 9 e 15 são contados DUAS VEZES.  Ou seja, precisamos descartar uma das vezes que os múltiplos de 45 aparecem, sendo 45 = mmc(9,15).

O menor múltiplo de 45 no intervalo é o 135 e o maior, 990 e ao todo apareceram Q = (990 – 135) : 45 + 1 → Q = 20;

Logo, há 100 + 60 – 20 = 140 múltiplos de 9 ou de 15 no intervalo proposto.

02.  (ESA/2009)  Uma loja de eletrodomésticos paga, pela aquisição de certo produto, o correspondente ao preço x (em reais) de fabricação, mais 5 % de imposto e 3 % de frete, ambos os percentuais calculados sobre o preço x. Vende esse produto ao consumidor por R$ 54,00, com lucro de 25 %. Então, o valor de x é:

Solução:  O preço de compra do produto é x, que representa 100% de si mesmo.  Já o preço de custo é 108% . x, pois foram adicionados os 5% de imposto e 3% de frete.  Chamemos esse valor de y.

Logo, 125% . y = 54 → 1,25 y = 54 → y = 43,20.

Como y = 108% . x, vem:  1,08 . x = 43,20  →  x = 40 reais.

03.  (ESA/2008)  Se decompusermos em fatores primos o produto dos números naturais de 1 a 200 e escrevermos os fatores comuns em uma única base, o expoente do fator 5 será:

Solução:  O fator primo 5 aparece 200 : 5 = 40 vezes.  Já o fator 5² = 25 aparece 200 : 25 = 8 vezes e o fator 5³ = 125 aparece 200 : 125 = 1 vez.  Logo, ao todo, a base 5 aparece 40 + 8 + 1 = 49 vezes, sendo esta a resposta.

04.  (ESA/2008)  Em uma unidade do Exército, a soma do efetivo formado por soldados e cabos é 65.  Em um determinado dia, 15 soldados não compareceram ao expediente.  Em consequência dessas faltas, o efetivo de cabos ficou igual ao efetivo de soldados presentes naquele dia.  Qual é o mínimo comum entre o número total de soldados e cabos desta unidade militar?

Solução:  1º)  s + c = 65

2º)  s – 15 = c → s = c + 15

Substituindo na primeira equação, temos:  c + 15 + c = 65 → 2c = 65 – 15 → 2c = 50 → c = 25.

Logo, s – 15 = 25 → s = 25 + 15 → s = 40 e o mmc(25,40) = 200.

05.  (ESA/2008)  Em uma determinada loja, uma televisão custa R$ 750,00 à vista.  Se for paga em 5 prestações mensais, o valor da televisão passará a custar R$ 900,00.  Nestas condições, qual seria a taxa de juros simples mensal cobrada pela loja?

Solução:  Os juros perfizeram 900 – 750 = 150 ao longo dos 5 meses, ou seja, 150 : 5 = 30 reais por mês.  Logo, a taxa de juros é igual a 30 / 750 = 0,04 ou 4% a.m.

06.  (ESA/2008)  Um pedreiro verificou que para transportar 180 tijolos usando um carrinho de mão, levando sempre a mesma quantidade de tijolos, precisaria dar x viagens.  Se ele levasse 3 tijolos a menos a menos em cada viagem, precisaria fazer mais duas viagens.  A soma dos algarismos do número x é:

Solução:  Se o pedreiro levar t tijolos, precisará dar x viagens.  Podemos escrever que t . x = 180.  Levando (t – 3) tijolos em cada viagem, precisará de (x + 2) viagens.  Também podemos escrever que (t – 3)(x + 2) = 180.

Como t e x são inteiros positivos, ambos são DIVISORES de 180.  Note que 18 . 10 = (18 – 3)(10 + 2) = 180, ou seja, t = 18 e x = 10, sendo 1 + 0 = 1 a soma de seus algarismos.

07.  (ESA/2007)  50 operários deveriam fazer uma obra em 60 dias.  15 dias após o início do serviço, são contratados mais 25 operários para ajudar na construção.  Em quantos dias ficará pronto o restante da obra?

Solução:  Trata-se de uma regra de três simples e inversa, pois, quanto mais operários houver na obra, em menos tempo ela fica pronta.

operários        dias

50                    45 (não se esqueça que já se passaram 15 dias)

75                    x

75x = 50 . 45 → x = 30 dias.

08.  (ESA/2007)  Um trabalhador gasta 5 horas para limpar um terreno circular de 8 m de raio.  Ele cobra R$ 4,00 por hora de trabalho.  Para limpar um terreno circular de 24 m de raio, o trabalhador cobrará, em reais:

Solução:  A área do primeiro terreno é de  . 8² = 64  m² e a do segundo,  . 24² = 576  m².  Logo, o segundo terreno é 576 : 64 = 9 vezes maior que o primeiro.  Daí, o trabalhador precisará de 9 x 5 = 45 horas de trabalho e por elas cobrará 45 x 4 = 180 reais.

09.  (ESA/2007)  Uma indústria importa vinho estrangeiro em 20 barris de 160 litros cada e vai engarrafá-lo em recipientes que contêm 0,80 dm³ cada.  A quantidade total de recipientes de vinho será:

Solução:  Lembrando que 1 dm³  1 litro, temos:  20 x 160 = 3200 litros → 3200 : 0,8 = 4000 recipientes.

10.  (ESA/2007)  O maior numero pelo qual se deve dividir 243 e 391 para obter respectivamente os 3 e 7 é “x”.  Pode-se afirmar que o algarismo das dezenas de “x” é igual a:

Solução:  Subtraindo os restos dos respectivos dividendos, passaremos a ter divisões exatas.  Assim, 240 e 384 são ambos divisíveis por x.  Sendo x o maior possível, este é o mdc(240, 384) = 48, sendo o 4 o algarismo das dezenas.

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Prof. Bruno Leal Resolve - LV - Diversas questões de concursos dos FUZILEIROS NAVAIS

01.  (FN/2006)  No quadro abaixo, são apresentadas as equivalências entre três unidades monetárias.

10 pilas = 8 merrecas

1 merreca = 5 contos

Utilizando esses dados, calcule o preço, em contos, de uma mercadoria que custe duas pilas mais três merrecas.

Solução:  Note inicialmente que 10 pilas = 8 x 5 = 40 contos, logo, 1 pila = 4 contos.

Logo, 2 pilas e 3 merrecas custam 2 x 4 + 3 x 5 = 23 contos.

02.  (FN/2006)  Ari, Beto, Caio e Sócrates encontram-se no refeitório do quartel para almoçar. Cada um cumprimenta todos os outros com um aperto de mãos. Qual o total de apertos de mãos?

Solução:  Cada um aperta a mão de outras 3 pessoas.  Deveríamos ter, ao todo, 4 x 3 = 12 apertos de mão.  Porém, cada aperto de mão foi contado 2 vezes (Ari - Beto e Beto-Ari, por exemplo).  Logo, há, ao todo, 12 : 2 = 6 apertos de mão.

Solução 2:  Ari aperta a mão de 3 pessoas (Beto, Caio e Sócrates), Beto, de outras 2 pessoas (Caio e Sócrates) e Caio, de 1 outra pessoa (Sócrates).  Sócrates já foi cumprimentado pelos outros 3.  Logo, ao todo temos 3 + 2 + 1 = 6 apertos de mão.

03.  (FN/2006)  A quarta parte da metade de um chocolate corresponde a que fração do chocolate?

Solução:  Corresponde a 1/4 x 1/2 = 1/8 do chocolate.

04.  (FN/2006)  Sabe-se que a razão ideal do número de habitantes de uma cidade, para cada metro quadrado de área verde, é de 2 para 5. Qual é o número máximo de habitantes que deveria ter uma cidade com 400.000 m² de área verde?

Solução:  1º)  400000 : 5 = 80000

2º)  80000 x 2 = 160000 habitantes

(FN/2006)  Um candidato tirou 6 em uma prova de concurso que valia 8 pontos. Qual seria a nota desse candidato se a prova valesse 100?

Solução:  1º)  100 : 8 = 12,5

2º)  12,5 x 6 = 75

05.  (FN/2006)  Os professores de uma escola levaram alguns alunos ao cinema. Foram, ao todo, 10 professores e 5 turmas de 30 alunos. Foi feita a seguinte promoção: para cada 10 professores, 2 não pagam e, para cada 50 alunos, 10 não pagam. Quanto a escola gastou, se os ingressos custaram R$ 6,00 para cada professor e R$ 3,00 para cada aluno?

Solução:  Com relação aos professores, como a cada 10, 2 não pagam, então 8 pagaram.  Ao todo são 5 x 30 = 150 alunos, e como a cada 50, 10 não pagam, 30 não pagarão (pois 150 alunos perfazem 3 grupos de 50) e 120 pagarão.  A despesa total será, pois, de:  8 x 6 + 120 x 3 = 408 reais.

06.  (FN/2006)  (10%)² é igual a:

Solução:  Temos que 10% = 10/100 = 1/10, logo, (1/10)² = 1/100, ou seja, 1%.

07.  (FN/2006)  Pelo regulamento da escola, João não pode faltar a mais de 25% das aulas de Educação Física. Ao todo, serão 96 aulas de Educação Física durante o ano e ele já faltou a 15 aulas. Qual o número máximo de faltas que ele ainda pode ter?

Solução:  Ele pode faltar, no máximo, a 25/100 x 96 = 24 aulas.  Como já faltou a 15, pode ainda faltar a 24 – 15 = 9 aulas.

08.  (FN/2006)  Que fatores aparecem na decomposição em fatores primos, do denominador de uma fração decimal?

(A) 1 e 2

(B) 2 e 5

(C) 3 e 5

(D) 5 e 10

(E) 5 e 100

Solução:  Uma fração é dita decimal quando seu denominador é uma potência de 10.  Ex:  3/10, 35/100, 7654/1000000, ...

Logo, na decomposição em fatores primos de uma potência de 10 só podem aparecer os fatores 2 e 5 → letra (B).

08.  (FN/2006)  Na entrada de um porto, há um farol e duas bóias luminosas, para assinalar os pontos mais perigosos para a navegação. O farol pisca a cada 15 segundos, uma das bóias pisca a cada 30 segundos e a outra bóia, a cada 40 segundos. Num dado instante, o farol e as duas bóias piscam ao mesmo tempo. Quantas vezes, em uma hora, ocorrerá essa situação?

Solução:  Os três piscam juntos a cada 120 s, que é o mmc (15, 30, 40).  Como 120 s = 2 min, essa situação ocorrerá 60 : 2 = 30 vezes por hora.

09.  (FN/2005)  Para cercar um quartel, são necessários 5 voltas de arame farpado em seu perímetro. Quantos quilômetros de arame serão necessários para cercar um quartel que mede 500 metros de comprimento e 300 metros de largura?

Solução:  O perímetro do terreno é igual a 2 x 500 + 2 x 300 = 1600 m.  Como serão dadas 5 voltas, serão necessários 5 x 1600 = 8000 m de arame, que perfazem 8 km.

10.  (FN/2005)  Em um grupo de 20 pessoas, 40% são homens e 75% das mulheres são solteiras. O número de mulheres casadas é:

Solução:  Se 40% das pessoas são homens, então há 40/100 x  20 = 8 homens e 20 – 8 = 12 mulheres.  Destas, 75% são solteiras, ou seja; 75/100 x 12 = 9 solteiras e 12 – 9 = 3 casadas.

PS:  O enunciado deveria ter dito que, no grupo, só havia mulheres solteiras ou casadas. 

11.  (FN/2005)  Um triângulo tem as seguintes medidas de seus lados, em ordem crescente: 15, 20 e x. Sabendo que um dos ângulos deste triângulo mede meio ângulo raso, qual o valor de x ?

Solução:  Se o triângulo apresenta um ângulo medindo meio ângulo raso, então,possui um ângulo de 180º / 2 = 90º, sendo um triângulo retângulo portanto e tendo x como hipotenusa (já que é o maior dos lados) .  Logo, é válido o Teorema de Pitágoras:  x² = 15² + 20² → x² = 225 + 400 → x² = 625 → x = 25.

12.  (FN/2005)  Em um triângulo retângulo, o seno de um de seus ângulos agudos é:

A) o inverso do cosseno desse ângulo.

B) o quadrado do cosseno desse ângulo.

C) a razão entre as medidas dos catetos do triângulo.

D) a razão entre a medida da hipotenusa e a medida do lado adjacente a esse ângulo.

E) a razão entre a medida do lado oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Solução:  E), por definição.

13.  (FN/2005)  Em um quartel, 7/9 dos militares são praças e existem 10 oficiais. Como o efetivo do quartel é composto de oficiais e praças, qual o número total de militares no quartel ?

Solução:  Se 7/9 dos militares são praças, então 2/9 são oficiais.  Logo, temos:

2/9 → 10;

1/9 → 10 : 2 = 5;

9/9 → 5 x 9 = 45 militares.

14.  (FN/2005)  Qual é o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógios quando são exatamente 7 horas ?

Solução:  Há um macete para esse tipo de questão.  Os ponteiros de um relógio formam 2 ângulos, sendo um deles dado por x = | 30 x h – 5,5 x min|, sendo h = 7 e min = 0 (7 horas em ponto).  Logo:  x =  |30 x 7 – 5,5 x 0| → x = 210º.  Esses dois ângulos são replementares (sua soma é 360º).  Sendo um dos ângulos 210º, o outro será 360º - 210º = 150º, que é a resposta do problema, por ser este menor que 210º.

Repare que na fórmula aparece o MÓDULO da diferença.

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Prof. Bruno Leal Resolve - LIV - Diversas questões de Colégios Militares

01.  (CMRJ/2013)  O algarismo das unidades do número obtido na multiplicação 1 x 3 x 5 x 7 x  11 x 13 x 17 x 19 x 23 x 29 x 31 é:

Solução:  Seja P o produto obtido.  P é divisível por cada um dos fatores, ou seja, P é divisível por, 1, 3, 5, ..., 31.  Como P é divisível por 5, só pode terminar em 0 (se for par) ou em 5 (se for ímpar).    Como todos os fatores da multiplicação são ímpares, P é ímpar e portanto termina em 5.

02.  (CMRJ/2013)  Numa eleição, 65000 pessoas votaram. O candidato que venceu recebeu 55% do total dos votos. O outro candidato recebeu 60% da quantidade dos votos do candidato vencedor. Os demais foram votos brancos ou nulos. O total de votos brancos ou nulos que ocorreram nessa eleição foi

Solução:  O vencedor recebeu 55% de 65000 = 35750 votos.  Já o perdedor recebeu 60% de 35750 = 21450 votos.  Logo, os brancos e nulos foram 65000 – 35750 – 21450 = 7800

03.  (CMRJ/2013)  Numa estrada existem dois restaurantes, um de frente para o outro. Um deles chama-se “Dois Quintos” e o outro, “Oitenta Km”. Esses nomes, dados pelos respectivos proprietários, indicam em que ponto eles se localizam, a partir do início da estrada. O comprimento dessa estrada é

Solução:  Se 2/5 da estrada correspondem a 80 km, 1/5 corresponde a 80 : 2 = 40 km e a estrada toda, 5/5, corresponde a 40 x 5 = 200 km.

04.  (Colégio Militar de Belo Horizonte / 2011)  Devemos resolver uma divisão através de seu algoritmo em que temos o dividendo, o divisor, o quociente e o resto. Determine o valor do dividendo, sabendo que o divisor é igual a 31, o resto é o maior possível e o quociente é a terça parte do resto.

Solução:  O resto máximo numa divisão é o antecessor do divisor, ou seja; o divisor menor 1. 

Logo, sendo 31 o divisor, o resto será 31 – 1 = 30, o quociente é 30 : 3 = 10 e o dividendo, 31 x 10 + 30 = 340.

05.  (CMBH/2011)  Número primo é o número natural maior que um e divisível somente pela unidade e por ele mesmo. Determine o menor número natural que devemos adicionar a 49 para que o total seja um número primo.

Solução:  49 é um número composto (número natural maior que 1 que não é primo)  pois é M(7);

50 é composto por ser par (o único natural par e primo é o 2);

51 é composto por ser M(3);

52 é par;

53 é primo.  Logo, o número que devemos somar ao 49 para o total ser 53 é o 4.

06.  (CMBH/2011)  Durante a aula de Matemática, a professora pediu que cada aluno utilizasse a própria calculadora para encontrar o quociente ao dividir um número por 40, mas a tecla de divisão da calculadora de uma aluna não funciona. Podemos sugerir que ela multiplique o número por:

Solução:  Dividir por 40 dá no mesmo que multiplicar pelo INVERSO do 40, ou seja, multiplicar por 1/40 = 0,025.

07.  (CMBH/2011)  Um paralelepípedo “A” tem 0,20 m de comprimento, 150 mm de largura e 0,8 dm de altura. Se você duplicar as arestas do paralelepípedo “A”, você obterá um paralelepípedo “B”. Quantas vezes o paralelepípedo “A” cabe no paralelepípedo “B”?

Solução:  Sejam c, l e a as arestas do paralelepípedo “A”.  Seu volume é V = c x l x a.  Com relação ao paralelepípedo “B”, suas arestas são 2c, 2l e 2a e seu volume, 2c x 2l x 2a = 8 x c x l x a = 8 x V.  Logo, “A” cabe 8 vezes em “B”.  As dimensões dadas pelo enunciado são irrelevantes.

08.  (CMBH/2011)  A moeda oficial do BRASIL é o REAL. Temos notas de 1, 2, 5, 10, 20, 50 e 100 reais. As notas de 1 real estão sendo recolhidas pelo Banco Central. Utilizamos também moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos, além das moedas de 1 real. Ao observar que havia no bolso da calça três notas de valor distinto e três moedas de valor distinto, você pode concluir que há várias quantias possíveis de acordo com os valores das notas e das moedas, exceto:

a)      R$ 80,85  b)      R$ 40,16 
c)      R$ 108,15  d)      R$ 16,76 e)      R$ 73,06

Solução:  a)  50 + 20 + 10 + 0,50 + 0,25 + 0,10 = 80,85;

b)  Não é possível, nas condições do enunciado, conseguirmos 40 reais.  Essa é a resposta;

c)  100 + 5 + 2 + 1 + 0,10 + 0,05 = 108,15;

d)  10 + 5 + 1 + 0,50 + 0,25 + 0,01 = 16,76;

e)  50 + 20 + 2 + 1 + 0,05 + 0,01 = 73,06.

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