Algumas excelentes questões da OBM/2014

01.  [Combinatória] (OBM/2014) O número 2014 tem quatro algarismos distintos cuja soma é 7. Quantos números inteiros positivos têm essas duas propriedades?
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
E) 23

Solução: Vamos analisar quais quádruplas de algarismos são válidas e, para isso, vamos chamar de d o maior número dessa quádrupla. Se d > 4, teremos pelo menos um dígito repetido na formação do número, pois 5 + 2 + 1 + 0 (que seria nossa menor soma possível com d > 4) ultrapassa nossa soma de 7.

Se d < 4, nossa maior soma possível é 6 (3 + 2 + 1 + 0), o que também invalida nossa quádrupla. Portanto, d = 4. Além disso, teremos que somar 7 – 4 = 3 para os demais números distintos da quádrupla. A única maneira de fazer isso com 3 algarismos é usando 2, 1 e 0.

Assim, nossa resposta será a quantidade de números de 4 algarismos distintos formados por 4, 2, 1 e 0. Contando a quantidade dígito a dígito, temos 3 opções para o primeiro dígito (lembre-se que o número não pode começar com 0 à esquerda!), 3 opções para o segundo dígito (qualquer dígito tirando o já escolhido), 2 opções para o terceiro dígito(um dos 2 dígitos restantes) e 1 opção para o último dígito (o dígito que sobrou).

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 3 x 3 x 2 x 1 = 18 possíveis números.

GABARITO: C

02.  [Operações Fundamentais] (OBM/2014) Manuel, Antônio e Joaquim começam a pintar, no mesmo instante, três muros iguais de 60 metros de comprimento, um muro para cada um. Nos 10 primeiros minutos de trabalho, Manuel pinta 2 metros, Antônio 3 metros e Joaquim, 5 metros. Quem termina a sua parte, imediatamente passa a ajudar os outros, até que os três juntos terminem todo o trabalho, cada um mantendo o seu ritmo até o final. Quanto tempo levou para o trabalho ser feito?
A) 3 horas
B) 4 horas
C) 5 horas
D) 6 horas
E) 7 horas

Solução: Como o ritmo de trabalho dos pintores Manuel, Antônio e Joaquim é totalmente independente, podemos encarar os 3 pintores como um único (vamos chamá-lo de Mantôquim) que junta a necessidade e o ritmo dos 3. Assim, Mantôquim tem 60 + 60 + 60 = 180 metros de muro a uma velocidade de 2 +3 +5 = 10 metros de muro pintados a cada 10 minutos, ou seja, 1 metro a cada minuto. Dessa forma, Mantôquim levará 180/1 = 180 minutos (ou 3 horas) para completar seu serviço.

GABARITO: A

03.  [Raciocínio Lógico] (OBM/2014) Ana enfileira 2014 cartões e os numera de 1 até 2014. Em seguida, ela os pinta, a partir do primeiro, com as cores amarela, verde e preta, um de cada cor, sempre nessa ordem. Considere as seguintes afirmações:
I) O número de cartões é igual para as três cores.
II) Há mais cartões amarelos ímpares do que verdes pares.
III) Há mais cartões pretos ímpares do que verdes ímpares.
Quais afirmações são verdadeiras?
A) Somente I. B) Somente II. C) Somente III. D) Somente I e II. E) Somente II e III.

Solução: Vamos analisar cada afirmação separadamente.
I) O número de cartões é igual para as três cores.
Sabemos que a contagem dos números de cartões é a mesma apenas se o número de cartões for múltiplo de 3 (se temos x cartões de cada, o total será 3x cartões). Como 2014 não é divisível por 3, o número de cartões não é igual para as 3 cores. FALSO.

II) Há mais cartões amarelos ímpares do que verdes pares.
Os cartões ímpares amarelos ocorrem em turnos de 6 (a cada 3 volta a ser amarelo, mas com a paridade trocada; só com 6 ele terá de volta a mesma cor e paridade). Eles correspondem aos números 1 (6.0+1), 7 (6.1+1), 13(6.2+1), ... , 2005(6.334+1), 2011(6.335+1). Como todos são da forma 6.x + 1, com x de 0 a 335, temos 335 – 0 + 1 = 336 cartões ímpares amarelos.

Os cartões pares verdes também ocorrem em turnos de 6 pelo mesmo motivo. A primeira aparição de um cartão par verde é o 2(6.0+2), seguido pelo 8(6.1+2), e assim por diante, até chegarmos no 2012(6.335+2). Assim como os ímpares amarelos, os cartões verdes pares aparecem 335 – 0+1 = 336 vezes. Portanto, não temos mais cartões amarelos ímpares do que verdes pares. FALSO.

III) Há mais cartões pretos ímpares do que verdes ímpares.
Assim como vimos em II), os cartões passam a repetir em cor e paridade em turnos de 6. Portanto, teremos cartões pretos ímpares em 3(6.0+3), 9(6.1+3), 15(6.2+3), ..., e 2013(6.335+3), formando ao todo 335 – 0+1 = 336 cartões.

Os cartões verdes ímpares aparecem em 5(6.0+5), 11(6.1+5), ..., 2009(6.334+5), totalizando 334 – 0+1 = 335 cartões. Dessa forma, temos mais cartões pretos ímpares do que verdes ímpares. VERDADEIRO.

GABARITO: C

04.  [Operações Fundamentais] (OBM/2014) Numa classe do sexto ano, a professora sabe que todo grupo que montar com 13 alunos terá pelo menos uma menina e todo grupo que formar com 21 alunos terá pelo menos um menino. Sendo o número de alunos desta classe o maior possível, qual é a razão entre o número de meninos e o
número de meninas desta classe?
A) 13:21 B) 13:34 C) 3:5 D) 3:8 E) 1:2

Solução: Se houver maior ou igual a 13 meninos na sala é possível selecionar estes 13 meninos para compor um grupo de 13 alunos, um absurdo, já que para quaisquer 13 alunos pelo menos um é menina. Assim, há no máximo 12 meninos na sala. Da mesma maneira, concluímos que há no máximo 20 meninas na sala. Logo, a razão entre a quantidade de meninos e de meninas da sala é 12/20 = 6/10 = 3/5.

GABARITO: C

05.  [Operações Fundamentais] (OBM/2014) Qual é a menor diferença entre um número inteiro positivo de quatro algarismos e um número inteiro positivo de três algarismos, sendo todos os sete algarismos distintos?
A) 1 B) 13 C) 19 D) 29 E) 36

Para minimizar a diferença em questão, o número de três algarismo deve ser o maior possível e o de quatro algarismos deve ser o menor possível, sempre cumprindo as condições do enunciado. Dadas as restrições, é fácil ver que o maior número de três algarismos é 987 e que o menor número de quatro algarismos é 1023. Assim a diferença em questão é mínima quando vale 1023 – 987 = 36.

GABARITO: E