01)
Quantos números inteiros há de 82 a 356?
Solução: A quantidade de números numa sucessão de números inteiros é dado por Q = (M – m) : “pulos” + 1, sendo:
M → o maior termo da sucessão, no caso, o 35;
m → o menor termo da sucessão, no caso, o 82;
“pulos” → de quanto em quanto os números se sucedem, no caso, de 1 em 1;
Logo, há Q = (356 – 82) : 1 + 1 → 274 : 1 + 1→ 274 + 1 = 275 números.
Não se esqueça de somar uma unidade no final!!!
GABARITO: 275
02) Quantos números inteiros há de – 3 a 3?
Solução: Contando “nos dedos”, os inteiros são: – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2 e 3, sendo, ao todo, 7 números.
Aplicando a fórmula: Q = [3 – (– 3)] : 1 + 1 → Q = [3 + 3] : 1 + 1 → Q = 6 + 1 → Q = 7, de fato.
GABARITO: 7
03) Quantos números inteiros há de – 157 a 3189?
Solução: Como nos anteriores, temos: Q = [(3189 – (– 157)] : 1 + 1 → [3189 + 157] : 1 + 1 → 3347 números.
GABARITO: 3347
04) Quantos números pares há de 18 a 340?
Solução: Nesse caso, M = 340 e m = 18. Ambos fazem parte da sequência, pois são pares.
Como os números pares “pulam” de dois em dois, vamos dividir a expressão (M – m) por 2, ao aplicarmos a fórmula.
Q = (340 – 18) : 2 + 1 → 322 : 2 + 1 → 161 + 1 = 162 números.
Nunca se esqueça de adicionar uma unidade no final!
GABARITO: 162
05) Quantos números ímpares há de 18 a 340?
Solução: Dessa vez nem o 18 nem o 340 fazem parte da sequência, pois nenhum deles é ímpar. Logo, m = 19 (o primeiro ímpar depois do 18) e M = 339 (último ímpar antes do 340).
Da mesma forma que os pares, os ímpares também pulam de 2 em 2.
Aplicando a fórmula: Q = (339 – 19) : 2 + 1 → 320 : 2 + 1 → 160 + 1→ Q = 161 números.
GABARITO: 161
06) Quantos múltiplos de 7 há de 14 a 287?
Solução: Tanto o 14 quanto o 287 fazem parte da sequência, pois ambos são divisíveis por 7. Os múltiplos de 7 “pulam”, como você sabe, de 7 em 7.
Aplicando a fórmula: Q = (287 – 14) : 7 + 1 → 273 : 7 + 1 → 39 + 1 = 40 números.
GABARITO: 40
07) Quantos múltiplos de 7 há ENTRE 14 e 287?
Solução: Muito cuidado! Os extremos, 14 e 287, embora divisíveis por 7, não fazem parte da sequência, pois o que se pede são os M(7) ENTRE esses números.
Logo, m = 21 (o menor M(7) após o 14, 14 + 7) e M = 280 (o maior M(7) antes do 287, 287 – 7).
Daí, temos: Q = (280 – 21) : 7 + 1 → 259 : 7 + 1 → 37 + 1 = 38 números.
GABARITO: 38
08) Quantos múltiplos de 5 há de 23 a 986?
Solução: Sabemos que os múltiplos de 5 terminam em 0 ou em 5, não é verdade? Portanto, m = 25 e M = 985.
Aplicando a fórmula: Q = (985 – 25) : 5 + 1 → 960 : 5 + 1 → 192 + 1 = 193 números.
GABARITO: 193
09) Quantos múltiplos de 2 há de 189 e 1104?
Solução: Q = (1104 – 190) : 2 + 1 → 458 números
GABARITO: 458
10) Quantos múltiplos de 3 há de 189 e 1104?
Solução: Q = (1104 – 189) : 3 + 1 → 306 números. Ambos os extremos são M(3).
GABARITO: 306
11) Quantos múltiplos de 2 e de 3 há de 189 a 1104?
Solução: Se um número é múltiplo de 2 E de 3, então é múltiplo de 6, que é o famoso mmc(2,3).
O menor número da série não pode ser o 189, pois ele não é M(6). Dividindo 189 por 6, verifica-se que o resto é 3. Portanto, m = 189 + 3 = 192.
O maior termo da série é o 1104, pois ele é M(6). Portanto, há (1104 – 192) : 6 + 1 = 153 números divisíveis por 6, isto é, por 2 e 3 ao mesmo tempo.
GABARITO: 153
12) Quantos múltiplos de 2 ou de 3 há de 189 a 1104?
Solução: Só M(2): 458 números;
Só M(3): 306 números;
A resposta seria, a princípio, 458 + 306 = 764 números. Só que não, como está na moda dizer!
Isso porque os MÚLTIPLOS DE 6 FORAM CONTADOS DUAS VEZES!! Uma vez como M(2) e uma segunda vez como M(3)!!
Precisamos descontar uma das duas vezes que os M(6) apareceram na sequência. Vimos no exercício anterior que são 153 números M(6).
Logo, a resposta correta é 764 – 153 = 611 números.
Solução: A quantidade de números numa sucessão de números inteiros é dado por Q = (M – m) : “pulos” + 1, sendo:
M → o maior termo da sucessão, no caso, o 35;
m → o menor termo da sucessão, no caso, o 82;
“pulos” → de quanto em quanto os números se sucedem, no caso, de 1 em 1;
Logo, há Q = (356 – 82) : 1 + 1 → 274 : 1 + 1→ 274 + 1 = 275 números.
Não se esqueça de somar uma unidade no final!!!
GABARITO: 275
02) Quantos números inteiros há de – 3 a 3?
Solução: Contando “nos dedos”, os inteiros são: – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2 e 3, sendo, ao todo, 7 números.
Aplicando a fórmula: Q = [3 – (– 3)] : 1 + 1 → Q = [3 + 3] : 1 + 1 → Q = 6 + 1 → Q = 7, de fato.
GABARITO: 7
03) Quantos números inteiros há de – 157 a 3189?
Solução: Como nos anteriores, temos: Q = [(3189 – (– 157)] : 1 + 1 → [3189 + 157] : 1 + 1 → 3347 números.
GABARITO: 3347
04) Quantos números pares há de 18 a 340?
Solução: Nesse caso, M = 340 e m = 18. Ambos fazem parte da sequência, pois são pares.
Como os números pares “pulam” de dois em dois, vamos dividir a expressão (M – m) por 2, ao aplicarmos a fórmula.
Q = (340 – 18) : 2 + 1 → 322 : 2 + 1 → 161 + 1 = 162 números.
Nunca se esqueça de adicionar uma unidade no final!
GABARITO: 162
05) Quantos números ímpares há de 18 a 340?
Solução: Dessa vez nem o 18 nem o 340 fazem parte da sequência, pois nenhum deles é ímpar. Logo, m = 19 (o primeiro ímpar depois do 18) e M = 339 (último ímpar antes do 340).
Da mesma forma que os pares, os ímpares também pulam de 2 em 2.
Aplicando a fórmula: Q = (339 – 19) : 2 + 1 → 320 : 2 + 1 → 160 + 1→ Q = 161 números.
GABARITO: 161
06) Quantos múltiplos de 7 há de 14 a 287?
Solução: Tanto o 14 quanto o 287 fazem parte da sequência, pois ambos são divisíveis por 7. Os múltiplos de 7 “pulam”, como você sabe, de 7 em 7.
Aplicando a fórmula: Q = (287 – 14) : 7 + 1 → 273 : 7 + 1 → 39 + 1 = 40 números.
GABARITO: 40
07) Quantos múltiplos de 7 há ENTRE 14 e 287?
Solução: Muito cuidado! Os extremos, 14 e 287, embora divisíveis por 7, não fazem parte da sequência, pois o que se pede são os M(7) ENTRE esses números.
Logo, m = 21 (o menor M(7) após o 14, 14 + 7) e M = 280 (o maior M(7) antes do 287, 287 – 7).
Daí, temos: Q = (280 – 21) : 7 + 1 → 259 : 7 + 1 → 37 + 1 = 38 números.
GABARITO: 38
08) Quantos múltiplos de 5 há de 23 a 986?
Solução: Sabemos que os múltiplos de 5 terminam em 0 ou em 5, não é verdade? Portanto, m = 25 e M = 985.
Aplicando a fórmula: Q = (985 – 25) : 5 + 1 → 960 : 5 + 1 → 192 + 1 = 193 números.
GABARITO: 193
09) Quantos múltiplos de 2 há de 189 e 1104?
Solução: Q = (1104 – 190) : 2 + 1 → 458 números
GABARITO: 458
10) Quantos múltiplos de 3 há de 189 e 1104?
Solução: Q = (1104 – 189) : 3 + 1 → 306 números. Ambos os extremos são M(3).
GABARITO: 306
11) Quantos múltiplos de 2 e de 3 há de 189 a 1104?
Solução: Se um número é múltiplo de 2 E de 3, então é múltiplo de 6, que é o famoso mmc(2,3).
O menor número da série não pode ser o 189, pois ele não é M(6). Dividindo 189 por 6, verifica-se que o resto é 3. Portanto, m = 189 + 3 = 192.
O maior termo da série é o 1104, pois ele é M(6). Portanto, há (1104 – 192) : 6 + 1 = 153 números divisíveis por 6, isto é, por 2 e 3 ao mesmo tempo.
GABARITO: 153
12) Quantos múltiplos de 2 ou de 3 há de 189 a 1104?
Solução: Só M(2): 458 números;
Só M(3): 306 números;
A resposta seria, a princípio, 458 + 306 = 764 números. Só que não, como está na moda dizer!
Isso porque os MÚLTIPLOS DE 6 FORAM CONTADOS DUAS VEZES!! Uma vez como M(2) e uma segunda vez como M(3)!!
Precisamos descontar uma das duas vezes que os M(6) apareceram na sequência. Vimos no exercício anterior que são 153 números M(6).
Logo, a resposta correta é 764 – 153 = 611 números.
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