Prof. Bruno Leal Resolve - LXXVIII - Duas questões difíceis do CMRJ

1)  (CMRJ/2001)  As terras de uma fazenda estão divididas em 3 partes por 2 riachos.  A área da parte menor corresponde a 1/24 da área total da fazenda, menos 10 ha; nessa parte estão a casa-sede e demais imóveis da fazenda, além do recanto de lazer (mini-campo de futebol, quadra para vôlei, piscina, brinquedos etc.), hortas, pomar e grande curral.  

A área da parte intermediária, entre os dois riachos corresponde a 17/48 da área total da fazenda, menos 70 ha; essa parte é totalmente usada para pastos.  

Na terceira parte, 7/10 de sua área, mais 39 ha, estão ocupados por mata natural e o proprietário pretende utilizar o restante também para pasto.  

Quando isto ocorrer, metade da área da fazenda estará servindo de pasto para os animais nela criados.  Se o recanto de lazer ocupa 1/150 da parte menor da fazenda, a área desse recanto:

a) É menor que 2500 m²;

b) Está compreendida entre 2500 m², inclusive, e 4000 m², exclusive;

c) Está compreendida entre 4000 m², inclusive, e 5500 m², exclusive;

d) Está compreendida entre 5500 m², inclusive, e 7000 m², exclusive;

e) É maior ou igual a 7000 m².

Solução:  Questão dificílima, principalmente por se tratar de um concurso de admissão à antiga quinta série ginasial, atual sexto ano do EF. 

1º)  Vamos considerar a área total sendo T e a área da parte menor sendo x.  Podemos escrever que x = T/24 – 10;

2º)  Sendo y a área da parte intermediária, temos:  y = 17T/48 – 70, sendo toda essa área usada para pastos;

3º)  A soma das áreas menor e intermediária é T/24 – 10 + 17T/48 – 70 = 19T/48 – 80

4º)  Portanto, a área da terceira parte, a qual vamos chamar de z, é dada por z = T – (19T/48 – 80) → T – 19T/48 + 80 →  29T/48 + 80;

5º)  Temos que 7/10 de z + 39 é tomada por mata natural e o restante, ou seja, 3/10 de z – 39, utilizada para pastos.  Isso equivale a 3/10 . (29T/48 + 80) – 39 →  29T/160 + 24 – 39 →   29T/160 – 15.

6º)  As áreas calculadas nos itens 5 e 2 são utilizadas para pastos.  Como metade da fazenda é usada para esse fim, temos:  29T/160 – 15 + 17T/48 – 70 = T/2 →  

29T/160 + 17T/48 – 85  = T/2 →   o mmc entre 160, 48 e 2 é 480 →  

87T + 170T – 40800 = 240T →  17T = 40800 →  T = 2400 hectares.

7º)  A parte menor da fazenda é igual a x = 2400/24 – 10 = 90 hectares = 900000 metros quadrados.

8º)  A área do recanto de lazer é 900000/150 = 6000 metros quadrados.

GABARITO:  D

2)   (CMRJ/2000)  João Carlos selecionou para gravar alguns vídeo-clips que iam passar durante a semana na MTV.  Como o seu videocassete possui 3 velocidades de gravação,  programou o primeiro vídeo-clip para a velocidade SP e a duração foi de 1 hora.  O segundo vídeo-clip foi gravado na velocidade LP e o tempo de gravação foi de 1 hora. 

Hoje, ele precisa programar para gravar o terceiro vídeo-clip e quer utilizar a mesma fita dos dois programas anteriores. 

Usando a velocidade EP, o tempo de gravação que ainda resta é de:

OBS.:  velocidade SP:  grava uma fita inteira em 2 horas;

velocidade LP:  grava uma fita inteira em 4 horas;

velocidade EP:  grava uma fita inteira em 6 horas.

a) 4 h

b) 3 h

c) 2,5 h

d) 1,5 h

e) 0,5 h

Solução 1:  Antes de mais nada, é fundamental notar que, ao passarmos o modo de gravação de SP para LP, o tempo que resta na fita é dobrado, pois 2 x 2 = 4.

Da mesma forma, ao passarmos o modo de gravação de LP para EP, o tempo que resta na fita é multiplicado por 1,5, pois 4 x 1,5 = 6.

Posto isso, vamos lá:

1º)  Gravou 1 hora em SP → ainda restaria 1 hora em SP que se tornará 2 horas ao mudar para LP;

2º)  Gravou 1 hora em LP → ainda restaria 1 hora em LP que se tornará 1,5 h em EP.

Solução 2:  1º)  Se foi gravado 1 hora em SP, então se gravou 1/2 da fita;

2º)  Se depois foi gravado 1 hora em LP, então se gravou 1/4 da fita;

3º)  Já foi gravada 1/2 + 1/4 = 3/4 da fita;

4º)  Ainda resta na fita o equivalente a 1/4  da mesma, que será gravada 

em EP.

5º)  Em 1 h, o sistema EP grava 1/6 da fita.  Temos a seguinte regra de três:

Fração da fita       Tempo

1/6                            1                 

1/4                            x

x/6 = 1/4  → x = 6/4 da hora, ou 1,5 h.

GABARITO:  D

Prof. Bruno Leal Resolve - LXXVII - Questões da FUNCEFET resolvidas!

(Fiscal Ambiental – Pref. Nova Iguaçu – FUNCEFET/2014)  Julgue  as afirmações:

I.                    Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares;

II.                  Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramos são suplementares;

III.                Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio, então este paralelogramo é um losango;

IV.               Nem todo losango é paralelogramo.

Solução:  I.  FALSO, só se o quadrilátero for um paralelogramo ou trapézio.  Se for um “genérico”, isso não ocorre;

II.  VERDADEIRO;

III.  VERDADEIRO;

IV.   FALSO.  Nem todo paralelogramo é losango, mas todo losango é paralelogramo.

(Fiscal Ambiental – Pref. Nova Iguaçu – FUNCEFET/2014) Um pescador que desejava estimar quantos peixes havia num pequeno lago, pescou 60 peixes desse lago e os marcou com tinta azul.  Em seguida, lançou-os no lago.  Depois que esses peixes se misturaram com os demais, o pescador pescou 90 peixes, dentre os quais 15 possuíam a marca azul.  Com base nestas informações, determine, aproximadamente, o número de peixes do lago.

a)                  360

b)                 250

c)                  300

d)                 380

e)                 320

Solução:  Notando que 15 é a quarta parte de 60, o total estimado de peixes será 90 x 4 = 360.

GABARITO:  A

(Fiscal Ambiental – Pref. Nova Iguaçu – FUNCEFET/2014)  Um avião com 120 lugares foi fretado para uma viagem de São Paulo a Porto Alegre e partiu lotado.  Durante o vôo, constatou-se que 60% dos passageiros estavam viajando pela primeira vez de avião e, entre eles, 87,5% não conheciam Porto Alegre.  Se o número de turistas que já haviam ido a Porto Alegre corresponde a 25% do total, que porcentagem do total de turistas já havia viajado de avião e estado na capital gaúcha?

a)                  12,5%

b)                 17,5%

c)                  35%

d)                 20,5%

e)                 15,35%

Solução:  1º)  60% viajam pela primeira vez de avião:  60% de 120 = 72 pessoas, logo, 120 – 72 = 48 já haviam viajado de avião;

2º)  87,5% dessas 72 pessoas não conheciam Porto Alegre:  87,5% de 72 = 63 pessoas e 72 – 63 = 9 conheciam;

3º)  25% de 120 já conheciam Porto Alegre:  25% de 120 = 30 pessoas, sendo 30 – 9 = 21 o número de pessoas que já havia viajado de avião e conhecido Porto Alegre.

4º)  A porcentagem pedida é de 21/120 = 0,175 ou 17,5%.

GABARITO:  B

(Fiscal Ambiental – Pref. Nova Iguaçu – FUNCEFET/2014 – Adaptado)  Sejam a e b números racionais quaisquer.  Julgue as afirmações:

I.                    ab é um número irracional;

II.                  a + b é um número irracional;

III.                a – b pode ser um número racional;

IV.               o quociente de a e b, sendo o divisor diferente de zero, é um número racional.

Solução:  I.  FALSA, pois a multiplicação é fechada no conjunto Q, ou seja, o produto de dois racionais é um racional;

II.  FALSA, pois a adição também é fechada em Q.

III.  FALSA, pois a subtração tabém é fechada em Q.  A diferença entre dois racionais SEMPRE é racional.  O “pode ser” da afirmação dá a entender que nem sempre tal diferença é racional.

IV.  VERDADEIRA.

(Fiscal Ambiental – Pref. Nova Iguaçu – FUNCEFET/2014)  Antonio tem R$ 30.000,00 para investir pelo prazo de um ano.  Ele pretende aplicar parte numa aplicação A, que tem rendimento esperado de 18% ao ano sobre o valor investido e o restante numa outra aplicação B, que dá um rendimento de 25% sobre o valor investido.  Qual o rendimento anual esperado se ele aplicar R$ 20.000,00 e m A e R$ 10.000,00 em B?

a)                  18,33%

b)                 15,33%

c)                  19,33%

d)                 20,33%

e)                 23,33%

Solução:  1º)  Investimento em A rendeu juros de 18% de 20000 = 3600 reais;

2º)  Investimento em B rendeu juros de 25% de 10000 = 2500 reais;

3º)  Rendimento total:  3600 + 2500 = 6100 reais;

4º)  Rentabilidade:  6100 / 30000 = 0,2033 ou 20,33%.

GABARITO:  D

(Fiscal Ambiental – Pref. Nova Iguaçu – FUNCEFET/2014)  Um conjunto A possui n elementos, um conjunto B possui dois elementos a mais do que A, e um conjunto C possui dois elementos a mais do que B.  Sendo X, Y e Z os números de subconjuntos de A, B e C, respectivamente, tem-se que:

a)                  Z é o triplo de X.

b)                 Y = X/2 + Z;

c)                  Y é igual ao dobro de Z;

d)                 Y é igual ao quádruplo de X;

e)                 Y é igual ao dobro de X.

Solução:  A quantidade de subconjuntos de um conjunto de n elementos é dada por 2ⁿ, sendo n a quantidade de elementos do conjunto.

Logo, A possui  2ⁿ subconjuntos.  X, portanto, vale 2ⁿ.

Como B possui n + 2 elementos, terá 2^{n + 2} = 2ⁿ . 2² = 4 . 2ⁿ subconjuntos, que é o valor de Y.

Sendo assim, conclui-se que Y é o quádruplo de X.

GABARITO:  D

(CEFET-RJ/2006)  Em um sinal de trânsito um menino fazia a seguinte “promoção”: pague 3 balas e leve 5. Aproveitando a “pro­moção”, levei 30 balas. Quantas balas paguei?

Solução:  1º)  30 : 5 = 6 grupos de 5 balas.

2º)  Em cada um dos 6 grupos de 5 balas,  você pagou por 3, logo, pagou por 6 x 3 = 18 balas.

GABARITO:  18

Prof. Bruno Leal Resolve - LXXVII - diversas questões da banca CONSULPLAN

01) (Professor de Matemática – Banca CONSULPLAN/2012)  Seja a sequência numérica a seguir (0,125; 0,25; 0,5; x; y; z). A soma dos valores de x, y e z é

A) 4.

B) 9.

C) 8.

D) 5.

E) 7.

Solução:  Trata-se de uma progressão geométrica de razão 2.  Note que 0,25 : 0,125 = 0,5 : 0,25 = 2.

Portanto, x = 0,5 . 2 = 1;

y = 1 . 2 = 2 e

z = 2 . 2 = 4.

A soma desses números é 7.

GABARITO:  E

02) (Professor de Matemática – Banca CONSULPLAN/2012)  Seja p um número natural primo, tal que p . (p – 1) = 1.332. O valor de p² + p + 1 é

A) 1.407.
B) 1.526.
C) 1.839.
D) 1.603.
E) 1.542.

Solução:  Decompondo 1332 em fatores primos, obtemos 2² x 3² x 37, ou seja, 36 x 37.  Logo, p = 37 e 37² + 37 + 1 = 1407.

GABARITO:  A

03) (Professor de Matemática – Banca CONSULPLAN/2012)  Um quadrilátero apresenta um de seus ângulos internos igual a 81°, e os demais ângulos internos possuem a mesma medida. O valor de cada um desses ângulos de medidas iguais é

A) 93°. B) 91°. C) 89°. D) 85°. E) 96°.

Solução:  A soma dos ângulos internos de um quadrilátero CONVEXO é 360º.  Sendo x a medida dos 3 ângulos internos que têm a mesma medida, podemos escrever que x + x + x + 81º = 360º → 3x = 279º → x = 93º.

04) (Prefeitura de Porto Velho – Banca CONSULPLAN/2012)  No lançamento simultâneo de três dados, um vermelho, um amarelo e um verde, a probabilidade de se obter mais de 15 pontos é:

A) 8/45

B) 7/72

C) 5/108

D) 7/216

E) 5/72

Solução:  Ao lançarmos 3 dados, há, pelo Princípio Fundamental da Contagem, 6 x 6 x 6 = 216 ternos possíveis, representando os resultados.  Ex:  (1, 4, 6) significa 1 no dado vermelho, 4 no amarelo e 6 no verde.

Dentre esses 216 ternos, interessam aqueles cuja soma dos termos é 16, 17 ou 18.

1º)  Com soma 18, só temos o terno (6, 6, 6) → 1 possibilidade;

2º)  Com soma 17, temos os ternos (6, 6, 5), (6, 5, 6) e (5, 6, 6) → 3 possibilidades;

3º)  Com soma 16, temos os ternos (6, 5, 5), (5, 6, 5), (5, 5, 6), (6, 6, 4), (6, 4, 6), (4, 6, 6) → 6 possibilidades.

Logo, ao todo, há 10 possibilidades que nos interessam.  A probabilidade é de 10/216 = 5/18.

GABARITO:  C

05) (Professor de Matemática – Banca CONSULPLAN/2012)  Relacione as colunas de forma que cada número fique associado a um de seus divisores.

Números:

A. 647.896

B. 186.471

C. 245.390

D. 820.666

Divisores:

( ) 5

( ) 7

( ) 4

( ) 3

A sequência está correta em

A) D, C, A, B
B) B, A, C, D
C) C, D, A, B
D) A, D, C, B
E) B, C, A, D

Solução:  1º)  647.896 termina em 96, por isso, é divisível por 4.

2º)  186.471 tem como soma dos algarismos 27, por isso, é divisível por 3.

3º)  245.390 termina em 5, por isso, é divisível por 5.

4º)  Por exclusão, 820.666 é divisível por 7 (117.238 x 7).

GABARITO:  C

Prof. Bruno Leal Resolve - LXXVI - Raciocínio Verbal

(Docas – SP – FGV/2010)  Em cada uma de cinco portas A,  B, C, D e E, está escrita uma sentença, conforme a seguir:

Porta A : “Eu sou a porta de saída.”

Porta B : “A porta de saída é a porta C.”

Porta C : “A sentença escrita na porta A é verdadeira.”

Porta D : “Se eu sou a porta de saída, então a porta de saída não é a porta E.”

Porta E : “Eu não sou a porta de saída.”

Sabe-se que dessas cinco sentenças há uma única verdadeira e que há somente uma porta de saída.  A porta de saída é  a porta:

(A) D.    (B) A.    (C) B.     (D) C.    (E) E. 

Solução: 

1º)  Vamos SUPOR que a porta de saída seja a Porta A:  nesse caso, as portas A, C e E estariam “falando a verdade”, contrariando o enunciado que nos diz que há apenas 1 sentença verdadeira.

2º)  Vamos SUPOR que a porta de saída é a Porta B:  nesse caso, SOMENTE A PORTA E DIZ A VERDADE, logo, está de acordo com enunciado, sendo a Porta B a porta de saída.

3º)  Por “desencargo de consciência”, vamos analisar as outras portas:

SUPOR a Porta C como a de saída:  nesse caso, as portas B e E “diriam a verdade”.

SUPOR a Porta D como a de saída:  nesse caso, as portas D e E “diriam a verdade”.

SUPOR a Porta E como a de saída:  nesse caso, nenhuma porta “diz a verdade”.

GABARITO:  C

Prof. Bruno Leal Resolve - LXXV - Numeração

    01)   Quantos números inteiros há de 82 a 356?

Solução:  A quantidade de números numa sucessão de números inteiros é dado por Q = (M – m) : “pulos” + 1, sendo:
M → o maior termo da sucessão, no caso, o 35;
m → o menor termo da sucessão, no caso, o 82;
“pulos” → de quanto em quanto os números se sucedem, no caso, de 1 em 1;

Logo, há Q = (356 – 82) : 1 + 1 → 274 : 1 + 1→ 274 + 1 = 275 números.

Não se esqueça de somar uma unidade no final!!!

GABARITO:  275
    
02)   Quantos números inteiros há de – 3 a 3?

Solução:  Contando “nos dedos”, os inteiros são:  – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2 e 3, sendo, ao todo, 7 números.

Aplicando a fórmula:  Q = [3 – (– 3)] : 1 + 1 → Q = [3 + 3] : 1 + 1 → Q = 6 + 1 → Q = 7, de fato.

GABARITO:  7

03)   Quantos números inteiros há de – 157 a 3189?

Solução:  Como nos anteriores, temos:  Q = [(3189 – (– 157)] : 1 + 1 → [3189 + 157] : 1 + 1 → 3347 números.

GABARITO:  3347

04)   Quantos números pares há de 18 a 340?

Solução:  Nesse caso, M = 340 e m = 18.  Ambos fazem parte da sequência, pois são pares.

Como os números pares “pulam” de dois em dois, vamos dividir a expressão (M – m) por 2, ao aplicarmos a fórmula.

Q = (340 – 18) : 2 + 1 → 322 : 2 + 1 → 161 + 1 = 162 números.

Nunca se esqueça de adicionar uma unidade no final!

GABARITO:  162

05)   Quantos números ímpares há de 18 a 340?

Solução:  Dessa vez nem o 18 nem o 340 fazem parte da sequência, pois nenhum deles é ímpar.  Logo, m = 19 (o primeiro ímpar depois do 18) e M = 339 (último ímpar antes do 340).

Da mesma forma que os pares, os ímpares também pulam de 2 em 2.
Aplicando a fórmula:  Q = (339 – 19) : 2 + 1 → 320 : 2 + 1 → 160 + 1→ Q = 161 números.

GABARITO:  161

06)   Quantos múltiplos de 7 há de 14 a 287?

Solução:  Tanto o 14 quanto o 287 fazem parte da sequência, pois ambos são divisíveis por 7.  Os múltiplos de 7 “pulam”, como você sabe, de 7 em 7. 
Aplicando a fórmula:  Q = (287 – 14) : 7 + 1 → 273 : 7 + 1 → 39 + 1 = 40 números.

GABARITO:  40

07)   Quantos múltiplos de 7 há ENTRE 14 e 287?

Solução:  Muito cuidado!  Os extremos, 14 e 287, embora divisíveis por 7, não fazem parte da sequência, pois o que se pede são os M(7) ENTRE esses números.

Logo, m = 21 (o menor M(7) após o 14, 14 + 7) e M = 280 (o maior M(7) antes do 287, 287 – 7).

Daí, temos:  Q = (280 – 21) : 7 + 1 → 259 : 7 + 1 → 37 + 1 = 38 números.

GABARITO:  38

08)   Quantos múltiplos de 5 há de 23 a 986?

Solução:  Sabemos que os múltiplos de 5 terminam em 0 ou em 5, não é verdade?  Portanto, m = 25 e M = 985.

Aplicando a fórmula:  Q = (985 – 25) :  5 + 1 → 960 : 5 + 1 → 192 + 1 = 193 números.

GABARITO:  193

09)   Quantos múltiplos de 2 há de 189 e 1104?

Solução:  Q = (1104 – 190) : 2 + 1 → 458 números

GABARITO:  458

10)   Quantos múltiplos de 3 há de 189 e 1104?

Solução:  Q = (1104 – 189) : 3 + 1 → 306 números.  Ambos os extremos são M(3).

GABARITO:  306

11)   Quantos múltiplos de 2 e de 3 há de 189 a 1104?

Solução:  Se um número é múltiplo de 2 E de 3, então é múltiplo de 6, que é o famoso mmc(2,3).

O menor número da série não pode ser o 189, pois ele não é M(6).  Dividindo 189 por 6, verifica-se que o resto é 3.  Portanto, m = 189 + 3 = 192.

O maior termo da série é o 1104, pois ele é M(6).  Portanto, há (1104 – 192) : 6 + 1 = 153 números divisíveis por 6, isto é, por 2 e 3 ao mesmo tempo.

GABARITO:  153

12)   Quantos múltiplos de 2 ou de 3 há de 189 a 1104?

Solução:  Só M(2):  458 números;
Só M(3):  306 números;

A resposta seria, a princípio, 458 + 306 = 764 números.  Só que não, como está na moda dizer!

Isso porque os MÚLTIPLOS DE 6 FORAM CONTADOS DUAS VEZES!!  Uma vez como M(2) e uma segunda vez como M(3)!! 

Precisamos descontar uma das duas vezes que os M(6) apareceram na sequência.  Vimos no exercício anterior que são 153 números M(6). 

Logo, a resposta correta é 764 – 153 = 611 números.

Prof. Bruno Leal Resolve LXXIV - Mais questões da CESGRANRIO

[Juros Compostos] Questão fácil, sem maiores dificuldades.  Basta fazer passo a passo.

(Banco da Amazônia – CESGRANRIO/2013)  Um refrigerador custa, à vista, R$ 1.500,00. Um consumidor optou por comprá-lo em duas parcelas. A loja cobra uma taxa mensal de juros (compostos) de 2%, atuante a partir da data da compra. O valor da primeira parcela, paga pelo consumidor 30 dias após a compra, foi de R$ 750,00. Um mês após o primeiro pagamento, o consumidor quitou sua dívida ao pagar a segunda parcela. Qual foi o valor da segunda parcela?

Solução:  Após 30 dias da compra, o valor atual da dívida era 1500 x 1,02 = 1530 reais.

Houve nessa data um pagamento de 750 reais, logo, o saldo devedor da dívida é de 1530 – 750 = 780 reais.

Trinta dias após esse pagamento, o valor atual da dívida passou a ser de 780 x 1,02 = 795,60 reais.  Como a dívida foi quitada nesse momento, o valor da segunda parcela foi justamente de 795,60 reais.

GABARITO:  795,60 reais

(Banco da Amazônia/2013)  As capitalizações oferecidas por dois fundos de investimento foram simuladas por uma operadora financeira. A aplicação inicial em ambos os fundos foi a mesma. Na simulação, a capitalização no primeiro fundo de investimento durou 48 meses e se deu a juros mensais de 1%, no regime composto. No segundo fundo de investimento, a capitalização durou 24 meses apenas. A operadora buscava determinar qual deveria ser a taxa mensal de juros oferecida pelo segundo fundo, em regime composto, para, ao final dos 24 meses, gerar o mesmo montante

gerado pelo primeiro ao final dos 48 meses. Essa taxa é de:

(A) 2% a.m.

(B) 2,01% a.m.

(C) 2,02% a.m.

(D) 2,1% a.m.

(E) 2,2% a.m.

Solução:  O Montante do primeiro caso, após 48 meses, é C.(1,01)⁴⁸ e, no segundo caso, C .(1 + i)²⁴.  Vamos estabelecer a igualdade:  C.(1,01)⁴⁸ = C .(1 + i)²⁴ → simplificando os “C” e os expoentes, vem → (1,01)² = (1 + i) → 1,0201 = 1 + i → 0,0201 = i → i = 2,01% a.m.

GABARITO:  B

(Banco da Amazônia - CESGRANRIO/2013)  Um empréstimo deverá ser pago em quarenta e nove prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação trinta dias após a liberação do dinheiro. O financiamento foi feito pelo Sistema de Amortização Constante, SAC, com taxa mensal de juros de 1%. Se a vigésima quinta prestação é de R$ 5.000,00, o saldo devedor, em reais, após o pagamento da quadragésima oitava prestação é de:

(A) 4.000

(B) 4.080

(C) 4.800

(D) 4.880

(E) 5.000

Solução:  O enunciado nos disse que a 25ª prestação é de 5000 reais.  Sabemos que P₂₅ = A (cota de amortização, que no SAC é fixa) + J₂₅.

Logo, 5000 = A + J₂₅.

E quem seria J₂₅?  Os juros que pagamos na 25ª prestação.  Esse juro é o SALDO DEVEDOR após o pagamento da 24ª prestação x a taxa de juros:  J₂₅ = SD₂₄ x 0,01.

Por enquanto, nossa primeira igualdade fica 5000 = A + SD₂₄ x 0,01

E quem seria o SD₂₄?  O saldo devedor INICIAL – 24 cotas de amortização:  SD₂₄ = S₀ – 24 . A. 

E como calculamos a cota de amortização, A?  A = (saldo devedor inicial) : (número de prestações) → A = S₀ / n

Como n = 49, A = S₀ / 49.

Substituindo tudo isso na igualdade inicial, teremos:  5000 = S₀ / 49 + 0,01 x [S₀ – 24 . S₀ / 49], que é uma equação do primeiro grau na incógnita S₀.  Resolvendo, vem:

5000 = S₀/49 + 0,01.[S₀ – 24.S₀/49] →

5000 = S₀/49 + 0,01.[25.S₀/49] →

5000 = 1,25.[S₀/49] → S₀/49 = 4000 → S₀ = 196.000,00

Daí, a cota de amortização será A = 196.000 / 49 = 4000.

O saldo devedor após a 48º prestação será S₄₈ = S₀ – 48 . A → 196000 - 48.4000 → S₄₈ = 4.000,00

GABARITO:  A

Prof. Bruno Leal Resolve LXXIII - Questões da CESGRANRIO

(CHESF – CESGRANRIO/2013)  Em 1º de fevereiro, João aplicou R$ 1.100,00 em um fundo de investimento que rende 1% ao mês, no regime de juros compostos, já tendo sido descontados os custos de administração e o imposto de renda.

Se João não fizer investimentos adicionais ou saques durante um ano, os saldos da aplicação, em reais, nos dias 1º de

abril, 1º de junho, 1º de agosto e 1º de outubro formarão uma progressão

(A) aritmética, cujo primeiro termo é 1.122 e cuja razão é 11.

(B) aritmética, cujo primeiro termo é 1.100 e cuja razão é 22.

(C) geométrica, cujo primeiro termo é 1.122,11 e cuja razão é (1,01)².

(D) geométrica, cujo primeiro termo é 1.111 e cuja razão é (1,01)².

(E) geométrica, cujo primeiro termo é 1.100 e cuja razão é 1,01.

Solução:  A cada mês, o capital inicial de 1100 reais será multiplicado por (1 + i), sendo i,  a taxa de juros do fundo, no caso, 1% = 0,01.

Ou seja, em 1º de março, o montante será de 1100 x (1 + 0,01) = 1100 x 1,01 = 1111 reais;

Em 1º de abril, o montante será de 1111 x 1,01 = 1122,11 reais;

Em 1º de junho, 2 meses após 1º de abril, o montante será de 1122,11 x 1,01 x 1,01 = 1122,11 x (1,01)²;

Em 1º de agosto, 2 meses após 1º de junto, o montante será de [1122,11 x (1,02)²] x (1,02)²;

Em 1º de outubro, o mesmo raciocínio:  o montante de 1º de agosto x (1,02)²;

Conclui-se se tratar de uma progressão GEOMÉTRICA, cujo primeiro termo é 1122,11 e razão (1,02)².

GABARITO:  C

(CHESF – CESGRANRIO/2013)  Sabendo-se que o triângulo, cujos lados medem 13 cm, 14 cm e 15 cm, tem área igual a 84 cm², conclui-se que o triângulo, cujos lados medem 6,5 cm, 7 cm e 7,5 cm, tem área, em cm², igual a

(A) 42

(B) 26,25

(C) 24,375

(D) 22,75

(E) 21

Solução:  A razão de semelhança entre os triângulos maior e menor é de 2 para 1, pois os lados do maior são o dobro dos lados do menor.  Já a razão entre as ÁREAS dos triângulos é o QUADRADO da razão de semelhança, ou seja, a área do triângulo maior é QUATRO vezes a área do menor, já que 2² = 4.

Sendo 84 m² a área do maior, será de 84 : 4 = 21 m² a área do menor.

GABARITO:  E

(Banco da Amazônia/2013)  Sabe-se que x e y são números reais tais que y = 5^3x.  Conclui-se que x é igual a:

Solução:  Vamos tomar logaritmos decimais em ambos os membros:  log y = log 5^3x.  Aplicando uma das propriedades dos logaritmos (log a^b = b . log a), vem:  log y = 3x . log 5 → 

x = log y / 3.log 5.

Prof. Bruno Leal Resolve - LXXII

(Fundação HEMOMINAS – IBFC) Paulo trabalha ou Marcos joga futebol equivale logicamente a dizer que:
a) Se Paulo não trabalha, então Marcos joga futebol.
b) Paulo trabalha e Marcos não joga futebol.
c) Paulo trabalha se, e somente se, Marcos joga futebol.
d) Se Paulo não trabalha, então Marcos não joga futebol.

Solução: A disjunção ~p v q é equivalente ao condicional p → q. Temos, portanto:
~p: Paulo trabalha;
q: Marcos joga futebol;
p: Paulo não trabalha.

A equivalência será, portanto: Se Paulo não trabalha, então Marcos joga futebol.

GABARITO: A