Prof. Bruno Leal Resolve - XCVII - Mais questões recentes da VUNESP

[Progressão Aritmética]  (Auditor/Desenvolve SP/VUNESP/2014)  Aquele que dá 3 passos para a direita somará 1 + 3 + 5, e se der 5 passos para a direita somará 1 + 3 + 5 + 7 + 9. Ou seja, somará números ímpares consecutivos, partindo de 1, tantas parcelas quantos passos der. Aquele que dá 3 passos para a esquerda somará 2 + 4 + 6, e se der 4 passos para a esquerda somará 2 + 4 + 6 + 8. Ou seja, somará números pares consecutivos, partindo de 2, tantas parcelas quantos passos der. Agindo dessa maneira, a diferença entre a soma de quem deu 28 passos para a direita e a soma de quem deu 27 passos para a esquerda é 

(A) 4. (B) 27. (C) 28. (D) 35. (E) 117.

Solução:  Como “preliminares”, vamos encontrar uma maneira rápida de somarmos os n primeiros números pares positivos e os n primeiros números ímpares positivos:

Acompanhe os raciocínios:

n = 2 → 2 + 4 = 6 = 2 x 3;
n = 3 → 2 + 4 + 6 = 12 = 3 x 4;
n = 4 → 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 x 5;

Prova-se pelo Princípio da Indução Finita que a soma dos n primeiros números pares positivos é n(n + 1).  Logo, quem deu 27 passos para a esquerda somou os 27 primeiros números pares positivos.  Aplicando a fórmula acima, temos que tal soma é 27 x 28 = 756;

Agora, os ímpares:

n = 2 → 1 + 3 = 5 = 2 x 2;
n = 3 → 1 + 3 + 5 = 9 = 3 x 3;
n = 4 → 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 x 4;

Prova-se pelo Princípio da Indução Finita que a soma dos n primeiros números ímpares positivos é n x n = n².  Logo, quem deu 28 passos para a direita somou os 28 primeiros números ímpares positivos.  Aplicando a fórmula acima, temos que tal soma é 28 x 28 = 784.

Portanto, a diferença pedida é 784 – 756 = 28.

GABARITO:  C

[Teoria dos Conjuntos]  (Auditor/Desenvolve SP/VUNESP/2014)  Em relação aos conjuntos A, B e C e a um total de 58 elementos que pertencem a eles, sabe-se: que nenhum elemento pertence simultaneamente aos três conjuntos; que 13 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B; que 3 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos A e C; que 2 elementos pertencem simultaneamente aos conjuntos B e C; que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto C é 5 unidades a mais do que aqueles que pertencem apenas ao conjunto B; que o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto A é 1 unidade a menos do que aqueles que pertencem apenas ao conjunto B. O número de elementos que pertencem apenas ao conjunto C é igual a:
(A) 46. (B) 31. (C) 24. (D) 17. (E) 12

Solução:  Denotando por n(A) o número de elementos de A, e por n’(A) o número de elementos que pertencem apenas ao conjunto A, temos:  n(A ∪ B ∪ C) = n’(A) + n’(B) + n’(C) + n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).
Sendo:  n(A ∪ B ∪ C) = 58;
n(A ∩ B ∩ C) = 0;
n(A ∩ B) = 13;
n(A ∩ C) = 3;
n(B ∩ C) = 2;
n’(C) = n’(B) + 5;
n’(A)  = n’(B) – 1;
n’(B) = x
Logo, 58 = 13 + 3 + 2 + x + 5 + x – 1 + x + 0 → 58 = 3x + 22 → x = 12;
Logo, n’(C) = 12 + 5 = 17.  

GABARITO:  C

[Tabelas-Verdade]  (Auditor/Desenvolve SP/VUNESP/2014)  Considere as afirmações: 
I. A camisa é azul ou a gravata é branca. 
II. Ou o sapato é marrom ou a camisa é azul. 
III. O paletó é cinza ou a calça é preta. 
IV. A calça é preta ou a gravata é branca. 
Em relação a essas afirmações, sabe-se que é falsa apenas a afirmação IV. Desse modo, é possível concluir corretamente que 
(A) a camisa é azul e a calça é preta. 
(B) a calça é preta ou o sapato é marrom. 
(C) o sapato é marrom ou a gravata é branca. 
(D) a calça é preta e o paletó é cinza. 
(E) a camisa é azul ou o paletó é cinza.

Solução:  1)  “Volta de apresentação e aquecimento dos pneus”:  Uma disjunção inclusiva, ou apenas disjunção (p ou q) é falsa quando as duas proposições que a formam são falsas.  Se pelo menos uma delas for verdadeira, a disjunção é verdadeira.
Uma disjunção exclusiva (OU p OU q) é verdadeira se apenas uma das proposições for verdadeira. Se ambas forem verdadeiras ou ambas forem falsas, a disjunção exclusiva será falsa.

2)  Sabemos que IV é falsa.  Trata-se de uma disjunção.  Logo, as duas partes da mesma precisam ser falsas, portanto a calça NÃO É PRETA e a gravata NÃO É BRANCA.

3)  Repare a afirmação III:  trata-se de outra disjunção, que é verdadeira (só IV é falsa).  Mas uma de suas partes (a calça é preta) é FALSA (conforme vimos acima), por isso a outra parte precisa necessariamente ser verdadeira.  Logo, o paletó É CINZA.

4)  Vamos agora à afirmação I:  novamente uma disjunção verdadeira que apresenta uma de suas partes (a gravata é branca) sendo FALSA.  Daí conclui-se que a outra parte da disjunção precisa ser verdadeira necessariamente (como no item anterior).  Logo, a camisa É AZUL.
Nem precisamos analisar a afirmação II, pois já podemos cravar o gabarito como a letra E.

Não se esqueça que uma disjunção inclusiva é verdadeira se pelo menos uma de suas partes forem verdadeiras, podendo, inclusive, serem ambas as partes verdadeiras.


GABARITO:  E