Prof. Bruno Leal Resolve - LXIV - Várias questões da EPCAR 2011/2012

01.  (EPCAR/2012)  Uma pessoa foi realizar um curso de aperfeiçoamento. O curso foi ministrado em x dias nos períodos da manhã e da tarde desses dias. Durante o curso foram aplicadas 9 avaliações que ocorreram em dias distintos, cada uma no período da tarde ou no período da manhã, nunca havendo mais de uma avaliação no mesmo dia.  Houve 7 manhãs e 4 tardes sem avaliação. O número x é divisor natural de:

a) 45                      c) 20

b) 36                      d) 18

                   

Solução:  1º)  Houve 9 avaliações, sendo y de manhã e 9 – y a tarde;

2º)  A quantidade de manhãs é igual a de tardes, por isso, y + 7 = 9 – y + 4 → 2y = 6  → y = 3.

3º)  Conclui-se que houve, ao todo, 3 + 7 = 10 manhãs, ou seja, x = 10, que é divisor de 20.  Resp.:  c)

02.  (EPCAR/2012)  Considere os algarismos zero e 4 e os números formados apenas com os mesmos. O número x representa o menor múltiplo positivo de 15, dentre os descritos acima. Se x/30 possui um número α de divisores positivos, então α é igual a:

Solução:  Se o número formado é divisível por 15, então é divisível por 3 e por 5.  Logo, termina em 0.  Para ser divisível por 3, a soma dos algarismos deve ser divisível por 3.  Portanto, o número procurado é 4440.  Daí, 4440/30 = 168 = 2² . 37, que possui (2 . 1)(1 + 1) = 3 x 2 = 6 divisores positivos.

03.  (EPCAR/2012)  Um líquido L₁ de densidade 800 g/l será misturado a um líquido L₂ de densidade 900 g/l.  Tal mistura será homogênea e terá a proporção de 3 partes de L₁ para cada 5 partes de L₂.  A densidade da mistura final, em g/l, será:

Solução:  Basta fazermos a média ponderada das densidades, sendo os pesos, a parte de cada um dos líquidos na mistura:

d = (3 x 800 + 5 x 900) / (3 + 5) → d = 6900 / 8 = 862,5 g/l

04.  (EPCAR/2012)  Em um prédio de 90 andares, numerados de 1 a 90, sem contar o térreo, existem 4 elevadores que são programados para atender apenas determinados andares. Assim, o elevador:

O para nos andares múltiplos de 11,

S para nos andares múltiplos de 7,

C para nos andares múltiplos de 5,

T para em todos os andares.

Todos estes elevadores partem do andar térreo e funcionam perfeitamente de acordo com sua programação.

Analise as afirmativas abaixo, classificando cada uma em V (verdadeira) ou F (falsa).

( ) No último andar para apenas 1 elevador.

( ) Não há neste prédio um andar em que parem todos os elevadores, com exceção do próprio térreo.

( ) Existem, neste prédio, 4 andares em que param 3 elevadores com exceção do próprio térreo.

Tem-se a sequência correta em:

a) F – V – V     c) V – F – V

b) F – V – F     d) F – F – V

Solução:  1º)  Falso, pois no andar 90 para o elevador C.

2º)  Verdadeiro, pois tal andar seria múltiplo de 5, 7 e 11 ao mesmo tempo, sendo o menor deles o mmc(5, 7, 11) = 385.

3º)  No andar 77 param os elevadores O, S e T, no andar 55, os elevadores O, C e T e nos andares 35 e 70, S, C e T.  Afirmativa VERDAEIRA.

Resp.:  a)

05.  (EPCAR/2012)  Na festa junina do Bairro Jardim foi montada uma barraca que vende pastéis e suco. Sabe-se que cada pastel teve um custo de R$ 0,50 e o suco já preparado para o consumo foi comprado em garrafas de 600 ml por R$ 1,20 cada.

O proprietário resolveu vender o suco em copos de 250 ml ao preço de 2 reais cada copo e um pastel era oferecido em cortesia para cada copo de suco consumido.

Ao final da festa, foram consumidas nessa barraca todas as 100 garrafas de suco que o proprietário havia adquirido e todos os clientes aceitaram a cortesia e não sobrou nenhum pastel.

É correto afirmar que, se não houve outras despesas, e o proprietário dessa barraca teve um lucro x relativo somente à venda dos sucos com suas cortesias, então a soma dos algarismos de x é igual a

Solução:  1º)  Se o proprietário comprou 100 garrafas de suco, então comprou 100 x 600 = 60000 ml de suco, com isso, conseguiu vender 60000 : 250 = 240 copos de suco e, por cortesia, 240 pastéis.

2º)  O custo foi de 100 x 1,20 + 240 x 0,50 = 240 reais e a receita, 240 x 2 = 480 reais, sendo o lucro, 480 – 240 = 240 reais, sendo 2 + 4+ 0 = 6 a soma dos algarismos.

06.  (EPCAR/2012)  Sr. Luiz pretende dividir a quantia x reais entre seus netos.  Observou que se der 50 reais para cada um lhe faltarão 50 reais e se der 40 reais para cada um, lhe sobrarão 40 reais. Com base nisso, é correto afirmar que:

a) Sr. Luiz possui menos de 500 reais para dividir entre seus netos.

b) Sr. Luiz tem mais de 10 netos.

c) se um dos netos do Sr. Luiz não quiser o dinheiro, os demais receberão menos de 45 reais cada um.

d) é possível que o Sr. Luiz divida a quantia x em partes iguais entre todos os seus netos, de forma que não lhe sobre nenhum centavo.

Solução:  Vamos chamar de q a quantia distribuída e de n, o número de netos.  Temos:

1º)  q = 50n – 50

2º)  q = 40n + 40

Comparando as equações, vem:  50n – 50 = 40n + 40 → 10n = 90 → n = 9 e q = 40 . 9 + 40 = 400 reais.

Logo, a opção correta é a letra a).

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Prof. Bruno Leal Resolve - LXIII - Várias questões da EPCAR - 2012/2013

01.  (EPCAR/2013)  Uma fábrica vende por mês 30 camisas ao preço de 25 reais cada. O custo total de cada camisa para a fábrica é de R$ 10,00.   O gerente da fábrica observou que, a cada redução de R$ 0,50 no preço unitário de cada camisa, são vendidas 5 camisas a mais. Considerando essas observações, se a fábrica vender 150 camisas, o lucro obtido na venda de cada camisa é de y%. O número de divisores de y é:

Solução:  Se a fábrica vender 150 camisas, significa que vendeu 150 – 30 = 120 a mais que a quantidade vendida normal.  Como a cada 5 camisas a mais vendidas significou o preço de venda unitário baixar 50 centavos, concluímos que tal preço de venda baixou 12 reais, pois 120 : 5 = 24 e 24 x 0,50 = 12.

Logo, cada camisa foi vendida por 25 – 12 = 13 reais e o lucro em cada uma foi de 13 – 10 = 3 reais.  O lucro obtido em cada camisa foi, pois, de 3/10 = 30/100 = 30%.  Logo, y = 30 = 2 . 3 . 5, que possui (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 divisores POSITIVOS e 8 x 2 divisores INTEIROS.

02.  (EPCAR/2013)  Uma mãe dividiu a quantia de R$ 2 100,00 entre seus três filhos de 3, 5 e 6 anos. A divisão foi feita em partes inversamente proporcionais às idades de cada um.  Dessa forma, é verdade que:

a) o filho mais novo recebeu 100 reais a mais que a soma dos valores recebidos pelos outros dois filhos.

b) o filho mais velho recebeu 20% a menos que o filho do meio.

c) a quantia que o filho do meio recebeu é 40% do que recebeu o mais novo.

d) se a divisão fosse feita em partes iguais, o filho mais velho teria sua parte acrescida de 40% em relação ao que realmente recebeu.

Solução:  Sejam x, y e z as quantias que os filhos de 3, 5 e 6 anos receberam, respectivamente.  Numa divisão proporcional inversa, o PRODUTO entre os pesos e as partes é constante:  3x = 5y = 6z.

Dividindo todos os termos por mmc(3,5,6) = 30, vem x/10 = y/6 = z/5 → x = 10k, y = 6k e z = 5k, sendo k a constante de proporcionalidade.

Como x + y + z = 2100, vem:  10k + 6k + 5k = 2100 → 21k = 2100 → k = 100.

Logo, x = 1000, y = 600 e z = 500 reais.  A opção correta é a letra d), pois 2100 / 3 = 700 é 140% de 500.

03.  (EPCAR/2013)  Pitágoras e Tales possuem hoje, cada um, certa quantia em reais. Se Pitágoras desse para Tales 50 reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada um. Porém se Tales desse para Pitágoras 100 reais, Tales passaria a ter 1/4 da quantia de Pitágoras.

Dessa forma, é correto afirmar que

a) a quantia que os dois possuem hoje, juntos, é menor que 600 reais.

b) Pitágoras possui hoje, 2/3 do que Tales possui.

c) Tales possui hoje, mais que 220 reais.

d) a diferença entre os valores que eles possuem hoje é menor que 100 reais.

Solução:    1º)  Se Pitágoras desse para Tales 50 reais, eles ficariam com a mesma quantia em reais, cada um: p – 50 = t + 50 → p = t + 100;

2º)  Porém se Tales desse para Pitágoras 100 reais, Tales passaria a ter 1/4 da quantia de Pitágoras:  t – 100 = (p + 100) / 4;

Logo, 4(t – 100) = t + 100 + 100 → 4t – 400 = t + 200 → 3t = 600 → t = 200 e p = 200 + 100 = 300.

Logo, a alternativa correta é a letra a), pois 200 + 300 < 600.

04.  (EPCAR/2013)  Maria Fernanda utiliza um balde com capacidade igual a 0,028 hl para aguar as 16 roseiras de seu jardim. Ela enche o balde, inicialmente vazio, e vai, de roseira em roseira, sem desperdício de água, jogando exatamente 800 cm³ em cada uma.

Toda vez que o líquido não é suficiente para continuar, Maria Fernanda retorna e completa a capacidade do balde.

Ela faz isso até que tenha aguado todas as roseiras. É correto afirmar que, para Maria Fernanda aguar todas as roseiras,

a) o volume de água que sobra no balde é maior que 5/7 do total de sua capacidade.

b) o total de água gasto não chega a 15l

c) é necessário encher o balde somente 5 vezes.

d) o volume de água que sobra no balde é menor que 10% do total de água gasto.

Solução:  1º)  Capacidade do balde:  0,028 hl = 2,8 l = 2800 ml;

2º)  Cada balde cheio permite aguar 2800 : 800 = 3 roseiras, sempre restando 400 ml no balde;

3º)  Para que sejam aguadas as 16 roseiras, Maria Fernanda precisará encher o balde 6 vezes, sendo que na última vez que encher, faltará somente 1 roseira a ser aguada;

4º)  Logo, após aguar a última roseira, restarão no balde 2800 – 800 = 2000 ml = 2 l.

Vamos analisar as alternativas:

a)  Falso, pois o volume que sobra no balde é 2000/2800 = 5/7 de sua capacidade, não maior que 5/7;

b)  Verdadeiro, pois ela não gastou 2 l, o que é menor do que 15 l;

c)  Falso, pois o balde foi enchido 6 vezes;

d)  Falso, pois ela gastou 16 x 800 = 12800 ml = 12,8 l para aguar as roseiras, sendo que 2 l > 10% de 12,8 l.

05.  (EPCAR/2013)  Para encher um reservatório com água, pode-se usar duas torneiras. A primeira torneira enche esse reservatório em 36 minutos. A segunda enche o mesmo reservatório em 24 minutos.

Certo dia, em que esse reservatório estava vazio, a primeira torneira é aberta durante um período de k minutos. Ao fim de k minutos, a primeira torneira é fechada e abre-se, imediatamente, a segunda, que fica aberta por um período de (k + 3) minutos.

Se o volume de água atingido corresponde a 2/3 da capacidade do reservatório, então o tempo total gasto foi

a) 31% de hora                         c) 28% de hora

b) 30% de hora                         d) 27% de hora

Solução:  1º)  Se a primeira torneira leva 36 minutos para encher o reservatório, então, a cada minuto, ela enche 1/36 do mesmo.  Já a segunda torneira, 1/24.

2º)  Após k minutos, o reservatório fica com k/36 de sua capacidade cheia;

3º)  Em (k + 3) minutos, a segunda torneira sozinha consegue encher (k + 3) / 24 do reservatório.  Portanto, o mesmo fica, após esses (k + 3)  minutos com k / 36 + (k + 3) / 24 = (5k + 9) / 72 do seu volume cheio, o que corresponde a 2/3 do total.

4º)  Logo, (5k + 9) / 72 = 2 / 3 → 15k + 27 = 144 → 15k = 117 → k = 117/15 = 39/5.

5º)  Conclui-se que o tempo total gasto foi de 39/5 + 39/5 + 3  = 93 / 5 minutos = 93 / 300 da hora = 31 /100 da hora, ou seja, 31% da mesma, letra a).

06. (EPCAR/2013)  Analise as proposições abaixo.

I) Uma jarra cheia de leite pesa 235 dag; com 3/4 de leite a jarra pesa 19,5 hg. O peso da jarra com 5/8 de leite é y gramas.

A soma dos algarismos de y é igual a 13.

Solução:  1º)  235 dag = 2350 g e 19,5 hg = 1950 g;

2º)  A variação na massa da jarra foi de 2350 – 1950 = 400 g, o que corresponde a 1/4 do volume do leite.  Logo, o leite tem massa igual a 1600 g e o jarro, vazio, 2350 – 1600 = 750 g;

3º)  Com 5/8 de leite, o jarro “pesará “ 750 + 5 x 1600  / 8 = 1750 g.  A soma dos algarismos é 1 + 7 + 5 + 0 = 13, tornando verdadeiro o item.

II)  Com 3/5 de 0,666...  da metade de 1 lata que comporta 20 l  de tinta, um pintor consegue pintar uma área de 16 m².  Para pintar uma área 25% menor, são necessários, 0,003 m³ de tinta.

Solução:  1º)  0,666... = 6/9 = 2/3;

2º)  Com 3/5 x 2/3 x 1/2 x 20 = 4l, pinta-se 16 m².  Logo, 1 l de tinta pinta 4 m²;

                               

3º)  Para pinta uma área correspondente a 75% de 16 = 3/4 x 16 = 12 m², serão necessários 12 : 4 = 3 litros de tinta = 0,003 m³ de tinta, tornando o item verdadeiro.

III)  Um pedreiro prepara uma mistura com 1 kg de cimento e 600 ml de água. Em seguida, ele aumenta em 50% a  quantidade de cimento e mexe até ficar homogênea a mistura, obtendo 1800 ml dessa mistura. Se a densidade da água é 1 g/ml, então a densidade

do cimento é igual a 1,25 kg/l

Solução:  A mistura de 1,5 kg de cimento com 600 ml possui 1800 ml.  Portanto, o cimento tem um volume de 1800 – 600 = 1200 ml = 1,2l, sendo sua densidade, por definição, 1,5 / 1,2 = 1,25 kg / l, sendo verdadeiro o item.

Tem-se que:

a) apenas I é verdadeira.

b) apenas II é falsa.

c) apenas I e II são falsas.

d) I, II e III são verdadeiras.

A alternativa correta é a d).

07.  (EPCAR/2013)  Uma empresa foi contratada para executar serviço de pintura no alojamento dos alunos do 1º ano CPCAR. O prazo estabelecido no contrato para a conclusão do serviço foi de 10 dias. O serviço começou a ser executado por uma equipe de 6 funcionários da empresa, cada um trabalhando 6 horas por dia.

Ao final do 8º dia de serviço somente 3/5 do serviço de pintura havia sido executado.

Para terminar o serviço dentro do prazo, a equipe de serviço recebeu mais 2 funcionários e todos passaram a trabalhar 9 horas por dia. Com isso a produtividade da equipe duplicou.

A nova equipe, para concluir o trabalho, gastou mais de 1 dia, porém menos de 2 dias.

Se h representa o número de horas que cada funcionário da nova equipe trabalhou no 10º dia de trabalho, então h é um número compreendido entre:

a) 0 e 2                  c) 4 e 6

b) 2 e 4                  d) 6 e 8

Solução:  1º)  6 funcionários, em 6 x 8 = 48 horas de trabalho, fizeram 3/5 do trabalho.  Logo, os 6 funcionários, por hora, fizeram 3/5 : 48 = 3/240 = 1/80 do serviço.  A produtividade de cada funcionário original é 1/80 : 6 = 1/480 do serviço por hora;

2º)  Após o acréscimo dos 2 novos funcionários, por hora, esses 8 funcionários realizam 8/480 x 2 = 16/480 = 1/30 do serviço (pois a produtividade dobrou).

Em 9 horas, fazem 9/30 = 3/10 do serviço.  Como restam 2/5 do mesmo para ficar pronto, os 8 funcionários precisarão de 2/5 : 3/10 = 4/3 do dia = 1 dia inteiro + 1/3 de um dia de 9 horas de trabalho, ou seja, h = 3.

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Prof. Bruno Leal Resolve - LXII

(ITA/2002) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a, b e c?

Solução: Podemos escolher duas letras dentre a, b, c de C_3,2 = 3 maneiras, e podemos escolher duas letras dentre as 7 restantes de C_7,2 = 21 maneiras.

Como 4 letras distintas podem ser permutadas de 4! = 24 maneiras, temos que o número de anagramas pedido é 3 ⋅ 21 ⋅ 24 = 1512.

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Prof. Bruno Leal Resolve - LXI - questões da banca AOCP

(Banca AOCP) Considere qualquer número natural de dois algarismos. Se escrevermos o algarismo 3 à esquerda dele, obtemos um novo número. Esse novo número tem a mais que o primeiro:
(A) 300 unidades.
(B) 30 unidades.
(C) 3 unidades.
(D) 3 dezenas.
(E) 1 centena.

Solução: Vamos pegar um exemplo: 45. Escrevendo o 3 à esquerda, fica 345. Esse novo número tem 300 unidades a mais que o primeiro. Letra (A).

(Banca AOCP) Ana Paula e Maria Helena receberam juntas R$ 950,00 por um trabalho realizado na prestação de serviços. Se Ana Paula gastar R$ 150,00 do que
recebeu, e Maria Helena gastar 300,00, ambas ficarão com quantias iguais. A quantia recebida por Maria Helena foi:
(A) R$ 150,00 a mais do que a quantia recebida por Ana Paula.
(B) o dobro da quantia recebida por Ana Paula.
(C) R$ 300,00 a mais do que a quantia recebida por Ana Paula.
(D) o triplo da quantia recebida por Ana Paula.
(E) R$ 550,00 a mais do que a quantia recebida por Ana Paula.

Solução: Podemos escrever que a + m = 950 e que a - 150 = m - 300. Desta segunda igualdade, vem que a - 150 + 300 = m, ou seja, a + 150 = m. Nem precisamos resolver o sistema para deduzir ser a letra (A) a resposta.

(Banca AOCP) Em um colégio, duas turmas são destinadas para cursinho pré vestibular. A turma 1 possui 50 alunos e a turma 2 possui 60 alunos. Sabendo que 60 alunos passaram no vestibular, podemos realmente afirmar que
(A) toda a turma 1 passou no vestibular.
(B) toda a turma 2 passou no vestibular.
(C) a maioria dos que passaram no vestibular são da turma 1.
(D) pelo menos 10 alunos que passaram no vestibular são da turma 2.
(E) metade da turma 1 passou no vestibular.

Solução:  letra (D), pois mesmo que toda turma 1 tivesse passado, mesmo assim, para completar os 60 aprovados, deveríamos ter 10 da turma 2 tendo sido aprovados.

(Banca AOCP) Considere qualquer número natural de dois algarismos. Se escrevermos o algarismo 3 à esquerda dele, obtemos um novo número. Esse novo número tem a mais que o primeiro:

(A) 300 unidades.
(B) 30 unidades.
(C) 3 unidades.
(D) 3 dezenas.
(E) 1 centena.

Solução: Vamos pegar um exemplo: 45. Escrevendo o 3 à esquerda, fica 345. Esse novo número tem 300 unidades a mais que o primeiro. Letra (A).

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Prof. Bruno Leal Resolve - LX - algumas questões do CN/2014

(CN/2014) Considere um conjunto de 6 meninos com idades diferentes e um outro conjunto com 6 meninas também com idades diferentes. Sabe-se que, em ambos os conjuntos, as idades variam de 1 a até 6 anos. Quantos casais podem-se formar com a soma das idades inferior a 8 anos?

Solução:
- A menina de um ano pode formar casal com todos os meninos;
- A de dois anos, com os meninos de 1 até 5 anos;
- A de três anos, com os meninos de 1 até 4 anos; e assim sucessivamente.
Logo o total de casais possíveis é: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

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Prof. Bruno Leal Resolve - LIX - Mais questões de Concursos para o Magistério

01.  (Professor de Matemática – Mesquita – RJ / 2006)  Letícia joga, de qualquer maneira, na mochila com que está viajando 4 pares de meias amarelas, 3 pares de meias azuis, 2 pares vermelhos e 2 pares verdes. Enfia a mão na mochila sem olhar com o objetivo de retirar um par de meias da mesma cor. Para ter certeza de que atingirá seu objetivo, o número mínimo de meias que deve retirar da mochila é:

Solução:  O pior caso possível é Letícia tirar 4 meias, uma de cada cor.  A quinta meia, necessariamente, irá coincidir com uma das 4 cores.  A resposta é, pois, 5 meias.

02.  (Professor de Matemática – Mesquita – RJ / 2006)  O centésimo algarismo depois da vírgula na representação decimal de 6/37 é:

Solução:  Dividindo 6 por 37, obtemos 0,162 162 162 ... ou seja, os algarismos se repetem de 3 em 3.  Dividindo 100 por 3, obtemos quociente 33 e resto 1.  Isto significa que escrevemos o ciclo 162 33 vezes e sobrou 1 algarismo, que seria o primeiro do ciclo de número 34.  Esse algarismo é o próprio 1.

03.  (Professor de Matemática – Japeri – RJ / 2013)  Um instituto tem, em seu cadastro, 10 professores de Matemática para participar da banca de concursos da instituição. Dentre os participantes, 3 são da cidade do Rio de Janeiro, 3 de Paracambi e 4 de Nilópolis. São necessários 3 professores para compor a banca. Sabendo-se que os professores são escolhidos de forma aleatória, a probabilidade de, escolhidos os três professores, pelo menos um ser de Nilópolis, é:

Solução:  Seja o evento “escolher 3 professores de Matemática para compor a banca”.  Isto pode ser feito de C_10,3 = 120 maneiras.  O que não pode acontecer é não ter na banca nenhum professor de Nilópolis, ou seja, só professores do Rio e de Paracambi, o que ocorre em C_6,3 = 20 casos.  Logo, em pelo menos 120 – 20 = 100 bancas, há pelo menos um de Nilópolis.  A probabilidade pedida é, pois, de 100/120 = 5/6.

04.  (Professor de Matemática – Japeri – RJ / 2013)  “A nova Lei Seca ajudou a reduzir o número de mortes nas estradas federais no feriado de Páscoa, mas a Polícia  Rodoviária Federal (PRF) ainda está em alerta para a principal causa de óbitos nas rodovias brasileiras: a colisão frontal. Em 2011, foram 2.652 mortes nesse tipo de acidente, 2.200 em zona rural.”

Segundo a reportagem o número mortes em acidentes desse tipo que ocorreram na zona rural em relação ao número total de mortes em 2011 nesse tipo de acidente representa aproximadamente:

Solução:  Basta fazermos 2200 / 2652 = 82,95%, aproximadamente 83%.

05.  (Professor de Matemática – Seropédica – RJ / 2013)  Um entregador de pizzas recebe semanalmente um salário que é composto de duas partes: uma parte fixa por ele estar à disposição da pizzaria, mais uma parte variável que é de acordo com o número de entregas que ele fez. A parte fixa é no valor de R$ 200,00, e a parte variável corresponde a R$ 5,00 por entrega. Supondo que o entregador fez 70 entregas em uma semana, qual será o valor do salário que irá receber?

Solução:  Irá receber 200 + 5 x 70 = 550 reais.

06.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  Um polígono regular de 16 lados tem a seguinte quantidade de diagonais:

Solução:  O total de diagonais é dado por d = n(n – 3) / 2, sendo n o número de lados do polígono.  Logo, d = 16(16 – 3) / 2 → 16 . 13 / 2  → 8 . 13 = 104.

07.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  Se w é o conjugado do número complexo z = 2 + 3i, então o produto w.z é igual a:

Solução:  O conjugado do complexo 2 + 3i é w = 2 – 3i.  O produto entre eles é (2 + 3i)(2 – 3i) = 2² – (3i)² = 4 + 9 = 13.

Lembre-se que i² = - 1, por definição.

08.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  Uma urna contém cinco cartões idênticos numerados de 1 a 5. Se sortearmos ao acaso, sucessivamente e com reposição, dois desses números, a probabilidade de que a soma seja maior ou igual a 8 é igual a:

Solução:  O total de casos de o evento “sortear 2 números” ocorrer é, pelo Princípio Fundamental da Contagem,  5 x 5 = 25 (lembre-se que o sorteio é com reposição).  Os casos favoráveis são sortear os números: 

5 e 5 → 5 + 5 = 10;

5 e 4 → 5 + 4 = 9;

5 e 3 → 5 + 3 = 8;

4 e 4 → 4 + 4 = 8.

Ou seja, há 4 casos favoráveis.  A probabilidade pedida é 4/25 = 16/100 = 16%.

09.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  Na sala de professores de uma escola estão reunidos quatro professores de matemática, seis de ciências e quatro de português. A diretora pede que seis desses professores – dois de cada disciplina – formem uma equipe para escrever um documento à Secretaria de Educação. O número de diferentes equipes que podem ser formadas é igual a:

Solução:  Podemos escolher os 2 professores de matemática de C_4,2 = 6 maneiras, os de ciências de C_6,2 = 15 maneiras e os de português, de C_4,2 = 6 maneiras.  Portanto, o número diferentes de equipes é, pelo Princípio Fundamental da Contagem, 6 x 15 x 6 = 540.

10.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)    Jorge contraiu um empréstimo de R$10.000,00 a uma taxa de juros (compostos) de 2% ao mês. Jorge pretende pagar R$3.000,00 ao final do primeiro mês, R$4.000,00, ao final do segundo, e o restante, ao final do terceiro mês.  O valor desta terceira parcela será igual a:

Solução:  No final do 1º mês, a dívida deixa de ser de 10.000 e passa a ser 10.000 x 1,02 = 10200 reais.  Como ele pagou 3000 reais, o saldo devedor é de 7200 reais.

No final do 2º mês, a dívida passa a ser de 7200 x 1,02 = 7344 reais.  Como pagou 4000, o saldo devedor é de 3344 reais.

No final do 3º mês, a dívida passa a ser de 3344 x 1,02 = 3410,88, que é o valor da terceira parcela para que a dívida seja liquidada.

11.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  A população de formigas em um formigueiro aumenta 20% a cada mês. Nesse caso, podemos afirmar que essa população aumenta, a cada mês, de acordo com uma progressão:

(A) geométrica de razão 1,2;

(B) geométrica de razão 0,2;

(C) aritmética de razão 20;

(D) aritmética de razão 2.

Solução:  Seja P a população inicial de formigas.  Após o primeiro aumento de 20%, a população passará a ser P x 1,2.

Após o segundo aumento de 20%,  população se tornará igual a P x 1,2  x 1,2.

Após o terceiro aumento, igual a P x 1,2 x 1,2 x 1,2, e assim por diante.

A sequencia de populações se caracteriza portanto por ser uma PROGRESSÃO GEOMÉTRICA de razão 1,2, letra (A).

12.  (Professor de Matemática – Resende – RJ / 2012)  Se f(x) = | – 4 – x | – | 3 – 2x |, x real, então f(3) é igual a:

Solução:  f(3) = | - 4 – 3| - |3 – 2.3| → |- 7| - |- 3| → 7 – 3 = 4.

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Prof. Bruno Leal Resolve - LVIII - Diversas questões de concursos para o Magistério

01.  (Professor de Matemática – Teresópolis – RJ / 2011)  Se Alvinho mentiu, então Alvinho foi reprovado. Assim:

(A) se Alvinho não mentiu então não foi reprovado;

(B) se Alvinho foi reprovado então Alvinho não mentiu;

(C) Alvinho mentiu ou foi reprovado;

(D) se Alvinho foi reprovado então Alvinho mentiu;

(E) se Alvinho não foi reprovado, então Alvinho não mentiu.

Solução:  O condicional  p → q é equivalente ao condicional ~q → ~p.  Portanto, se Alvinho mentiu, então Alvinho foi reprovado é equivalente a “Se Alvinho NÃO foi reprovado, então ele NÃO mentiu.”  Letra (E).

02.  (Professor de Matemática – Teresópolis – RJ / 2011)  A negação de “Paulinho é maestro e diretor” é:

(A) Paulinho não é maestro nem diretor;

(B) Paulinho não é maestro ou não é diretor;

(C) Paulinho é maestro ou não é diretor;

(D) Paulinho não é maestro ou é diretor;

(E) Paulinho é maestro ou é diretor.

Solução:  Negamos ambas as proposições simples que compõem a conjunção e trocamos o conectivo “e” pelo “ou”:  Paulinho NÃO é maestro OU NÃO é diretor.  Letra (B).

03.  (Professor de Matemática – Teresópolis – RJ / 2011)  Quando somamos as idades de Artur e Pedro, obtemos 60. Quando somamos as idades de Pedro e Túlio, obtemos 57. Já a soma das idades de Artur e Túlio é 53. A soma das idades dos três é igual a:

Solução:  Temos as seguintes igualdades: 

a + p = 60

p + t = 57

a + t = 53

Adicionando as 3 equações, obtemos:  2a + 2p + 2 t = 60 + 57 + 53 = 170 → simplificando ambos os membros por 2, temos:  a + p + t = 85.

04.  (Professor de Matemática / RJ / 2013)  A Direção Nacional do Sindicato SINDPROF é constituída por 6 professores e 4 técnicos administrativos. Um grupo de trabalho precisa ser formado, constituído por 4 pessoas da Direção Nacional, das quais pelo menos 2 destas 4 pessoas devem ser professores.  O número de grupos de trabalho distintos que podem ser formados é:

Solução:  Temos 3 casos possíveis:

1º)  Há 2 professores e 2 técnicos no grupo:  C_6,2 x C_4,2 = 15 x 6 = 90 possibilidades;

2º)  Há 3 professores e 1 técnico no grupo:  C_6,3 x 4 → 20 x 4 = 80 possibilidades;

3º)  Há 4 professores e nenhum técnico no grupo:  C_6,4 = 15 possibilidades.

O total de grupos que podem ser formados será, pois, 90 + 80 + 15 = 185.

Solução 2:  Vamos usar o Método Indireto:

1º)  Total de grupos possíveis sem restrições:  C_10,4 = 210;

2º)  O que não pode acontecer:  I)  Grupos sem professor:  1 possibilidade, escolhendo os 4 técnicos disponíveis para preencher as 4 vagas;

II)  Grupos com 1 professor e 3 técnicos:  6 x C_4,3 = 6 x 4 = 24.

3º)  Total de grupos que interessam:  210 – 1 – 24 = 185.

05.  (Professor de Matemática / RJ / 2013)  Um determinado desinfetante possui a seguinte instrução de uso: “Misturar em um recipiente 8 ml do produto para cada litro de água”. Joana colocou em um recipiente 1 litro de água e depois colocou, por engano, 14 ml do desinfetante. Ao perceber o erro, ela adicionou mais 500 ml de água. Joana errou novamente na proporção entre a água e o desinfetante. Para corrigir o erro, é necessário adicionar a esta última mistura uma quantidade de água, em mililitros, igual a:

Solução:  Se são 8 ml de desinfetante para cada 1 l = 1000 ml de água, então, para cada 1 ml de desinfetante, colocamos 1000 : 8 = 125 ml de água.  Como já temos 14 ml de desinfetante, precisamos ter 14 x 125 = 1750 ml de água.  Como ao todo temos 1500 ml de água, precisamos colocar ainda 1750 – 1500 = 250 ml de água.

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Prof. Bruno Leal Resolve - LVII - Diversas questões de concursos para o Magistério do RJ

01.  (Professor de Matemática / RJ / 2010)  No departamento de vendas de uma empresa trabalham 4 homens e 2 mulheres.  Destas 6 pessoas, um grupo de 3 pessoas deve ser escolhido de forma que possua pelo menos uma mulher.  O número de grupos diferentes que podem ser formados é:

Solução:  Vamos utilizar o “Método Indireto”:  O total de grupos sem qualquer restrição é dado por C­_6,3 = 20.  O que não servem são grupos formados exclusivamente por homens, num total de C_4,3 = 4 possibilidades.  Logo, há 20 – 4 = 16 grupos que podem ser formados.

02.  (Professor de Matemática / RJ / 2010)  Durante a noite, o dono de uma loja aumentou todos os preços em 20% e, no dia seguinte, anunciou um desconto de 30% em todos os produtos.  O desconto real que ele está oferecendo é de:

Solução:  Questão tradicionalíssima sobre variação percentual:  O valor final do produto é (100% + 20%)(100% - 30%) = 120/100 x 70/100 = 84/100 = 84% do valor inicial, o que acena para um desconto de 100% - 84% = 16%.

  

03.  (Professor de Matemática / RJ / 2010)  Em um grupo há 40 homens e 40 mulheres.  Sabe-se que 30% dos homens fumam e 6 mulheres fumam.  A porcentagem de fumantes no grupo é de:

Solução:  1º)  30% de 40 → 30/100 x 40 = 12 homens fumam

2º)  Total de fumantes:  12 +  6 = 18; total de pessoas:  40 + 40 = 80;

3º)  Porcentagem de fumantes:  18/80 = 0,225 = 22,5%.

04.  (Professor de Matemática / RJ / 2010)  As funcionárias de um departamento resolveram dividir igualmente entre si um presente para o diretor, que fazia aniversário.  O presente custava R$  120,00, mas, na hora de pagar, três funcionárias faltaram e, com isso, cada uma das presentes teve que dar mais R$ 2,00.  O número de funcionárias do departamento era:

Solução:  Sendo f o total de funcionárias e q a quantia que cada uma deu, podemos escrever que f . q = 120.

Como 3 faltaram, as (f – 3) funcionárias restantes teve que dar (q + 2) reais cada uma.  Logo (f – 3)(q + 2) = 120

Como f e q são números inteiros positivos (estamos admitindo que q seja), serão DIVISORES de 120. 

Note que 15 . 8 = 120 e que (15 – 3)(8 + 2) = 12 x 10 = 120.  Logo, f = 15.

05.  (Professor de Matemática / RJ / 2013)  Um professor da Rede Federal do Ensino Básico Técnico e Tecnológico, com regime de trabalho de 40h, em início de carreira, e sem pós-graduação, recebia, em abril de 2013, um vencimento básico de R$ 2714,89. O vencimento básico desse mesmo professor, e nas mesmas condições, sofrerá um reajuste já previsto em lei pelo Governo Federal e passará a ser de R$ 2764,45. Este reajuste será, aproximadamente, de:

A) 1,08%

B) 1,83%

C) 2,08%

D) 2,83%

E) 3,08%

Solução:  O aumento foi de 2764,45 – 2714,89 = 49,56 reais, o que representa 49,56 / 2714,89  0,01825  1,83%.

Se dividíssemos 50 por 2710 (arredondando convenientemente os valores) encontraríamos um valor aproximado de 0,1845, bem próximo do valor correto, com muito menos trabalho.

06.  (Professor de Matemática / FAETEC / RJ / 2010)   Dona Margarida comprou terra adubada para sua nova jardineira, que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são:  1 m de comprimento, 25 cm de largura e 20 cm de altura.  Sabe-se que 1 kg de terra ocupa um volume de 1,7 dm³.  Para encher totalmente a jardineira, a quantidade de terra necessária é de, aproximadamente:

Solução:  Vamos inicialmente converter todas as medidas para dm:

C = 1 m = 10 dm;

L = 25 cm = 2,5 dm;

A = 20 cm = 2 dm;

O volume será V = 10 x 2,5 x 2 = 50 dm³, o que demandará 50 x 1,7 = 85 kg de terra.

07.  (Professor de Matemática / FAETEC / RJ / 2010)  Uma máquina produziu 30 parafusos, dos quais 5 eram defeituosos.  Escolhendo-se ao acaso 2 parafusos dessa amostra, a probabilidade de os dois serem perfeitos é de:

Solução:  São 30 parafusos, sendo 5 defeituosos e 30 – 5 = 25 perfeitos.  Podemos escolher 2 parafusos de C_30,2 = 435.  O total de casos favoráveis é escolher 2 parafusos dentre os 25 perfeitos, o que pode ser feito de C_25,2 = 300 maneiras.  Logo, a probabilidade pedida é 300 / 435  0,6896  68,96%

Solução 2:  A probabilidade de o primeiro parafuso ser perfeito é 25/30, e a dos segundo, 24/29.  Logo, temos p = 25/30 x 24/29  0,6896  68,96%.

08.  (Professor de Matemática / RJ / 2010)  Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas pretas, todas de mesmo tamanho e peso.  Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade de que sejam da mesma cor é de:

Solução:  1º)  Vamos supor que sacaremos 2 bolas brancas:  a probabilidade é p₁ = 2/5 x 1/4 = 2/20;

2º)  Vamos agora supor que sacaremos 2 bolas pretas:  a probabilidade é p₂ = 3/5 x 2/4 = 6/20;

3º)  Logo, a probabilidade pedida é 2/20 + 6/20 = 8/20 = 4/10 = 40%.

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