Dica do Dia # 04: Logaritmos

Dica do Dia # 03: Potências

Dica do Dia # 02 - Trigonometria - Arco Duplo

Dica do Dia: Sistemas do Primeiro Grau

Prof. Bruno Leal Resolve - CXII - Problemas do Primeiro Grau

Nessa postagem, vou apresentar-lhes alguns problemas que são resolvidos através de equações ou sistemas de equações do primeiro grau um pouco mais difíceis do que os usualmente abordados nos cursinhos e colégios, sempre parecidos entre si.  Espero que gostem, bons estudos!

01)  Às cinco horas da tarde da última sexta-feira, uma em cada três salas de aula da Universidade Leal estava vazia.  Se em 68 salas havia aulas, o total de salas de aula da Universidade é:

Solução:  Num conjunto de 3 salas, uma estava vazia e 2, cheias.  Logo, sendo x o total de salas, podemos escrever que 2x/3 = 68 → 2x = 204 → x = 102.

GABARITO:  102

02)  Comprei duas caixas de morangos.  Na primeira caixa, um quarto dos morangos estavam estragados.  Na segunda caixa, que continha um morango a mais do que a primeira, somente um quinto dos morangos estavam estragados.  Se no total 69 morangos estavam bons, o total de morangos estragados era:

Solução:  1)  Primeira caixa → total:  x morangos, sendo x/4 estragados e 3x/4 bons;

2)  Segunda caixa → total:  x + 1 morangos, sendo (x + 1)/5 estragados e 4(x + 1)/5 bons;

3)  Ao todo, 69 morangos bons:  3x/4 + (4x + 4)/5 = 69 →  15x + 16x + 16 = 1380 → 31x = 1364 → x = 44;

4)  Logo, havia 44/4 + (44 + 1)/5 = 11 + 9 = 20 morangos estragados.

GABARITO:  20

03)  A carga do telefone celular de Gustavo é suficiente para 9 h em stand-by ou 1,5 h em ligações.  Se o telefone dele descarregou em 8 h, ele esteve em ligações durante quantos minutos?

Solução:  1)  A carga em stand-by dura 6 vezes mais do que em ligações, haja vista que 9 : 1,5 = 6;

2)  Se o telefone esteve em ligações durante x minutos, a bateria poderia ainda ter durado (90 – x) min fazendo ligações.  Note que 1,5 h = 90 minutos;

3)  Esse tempo, 90 – x minutos, corresponde ao tempo em que o telefone na verdade ficou em stand-by.  Portanto, ao ficar em stand-by, o tempo de duração da bateria é multiplicado por 6, conforme vimos no primeiro passo;

4)  Lembrando que 8 h = 480 min,  podemos escrever que x + 6(90 – x) = 480 →
x + 540 – 6x = 480 →  60 = 5x  →  12 = x.

GABARITO:  12 min

04)  Ao término de 1994, Augusto possuía a metade da idade de sua avó.  Sabendo que a soma dos anos em que eles nasceram é 3838, quantos anos possuirá Augusto em 2016?

Solução:  Sendo x a idade de Augusto em 1994, isso significa que ele nasceu no ano (1994 – x).

Da mesma forma, sendo 2x a idade da avó dele em 1994 (Augusto possuía a metade da idade da avó naquele ano), ela nasceu no ano (1994 – 2x).

Podemos escrever que 1994 – x + 1994 – 2x = 3838 → 150 = 3x → 50 = x.

Logo, em 2016, Augusto terá 50 + 22 = 72 anos.

GABARITO:  72

05)  Um agricultor, trabalhando sozinho, capina um certo terreno em 10 h.  Sua esposa, trabalhando sozinha, capina o mesmo terreno em 12 h.  Após o agricultor e sua esposa capinarem o terreno durante 1 h, recebem a ajuda de sua filha e então os três terminam de capinar o terreno em 3 h.  O número de horas necessárias para que a filha sozinha capine o terreno é igual a:

Solução:  Esse exercício é uma variação do famoso “Problema das Torneiras”, que tanto cai nas mais diversas provas de concursos.  O ideal nesse tipo de problema é sabermos o que acontece no chamado “tempo unitário”, no caso, em 1 h:

1)  O agricultor capina tudo em 10 h → em 1 h, ele capina 1/10 do terreno;

2)  Sua esposa capina tudo em 12 h → em 1 h, ela capina 1/12 do terreno;

3)  Juntos, em 1 h, os dois capinam 1/10 + 1/12 = 11/60 do terreno. 

4)  Resta capinar 60/60 – 11/60 = 49/60 do terreno;

5)  A filha do agricultor capina tudo em x h → em 1 h, ela capina 1/x do terreno;

6)  Em 3 h, os três capinam juntos os 49/60 restantes. 

Logo:  3 . (1/10 + 1/12 + 1/x) = 49/60 → 3/10 + 1/4 + 3/x = 49/60

→ multiplicando todas as frações pelo mmc(10, 4, x, 60) = 60 x

→ 18x + 15x + 180 = 49x → 180 = 16x

→ x = 180/16 = 45/4 = 11,25 h.

GABARITO:  11, 25 h

06)  Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou a seguinte decisão:  dividiria sua fortuna de 20 milhões de reais entre sua filha, que estava grávida, e a prole desta gravidez, cabendo a cada criança que fosse nascer o dobro que caberia à mãe, se fosse do sexo masculino e o triplo do que caberia à mãe, se fosse do sexo feminino.  Nasceram trigêmeos, sendo dois meninos e uma menina.  A parte que coube à menina foi:

Solução:  Sendo x a parte que cabe à mãe, podemos chamar de 2x a parte de cada menino e 3x, a da menina.

Logo:  x + 2x + 2x + 3x = 20 M → 8x = 20 M → x = 7,5 milhões.

GABARITO:  7,5 milhões de reais

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