Bruno Leal - Matemática Possível - Episódios 2 a 7

Bruno Leal - Matemática Possível - Episódio 1

Primeiro episódio do Projeto "Bruno Leal - Matemática Possível", no qual pretendo mostrar dicas, macetes e resolução de questões clássicas, frequentes em concursos públicos, "civis" e militares.

Você perceberá que a fusão do seu esforço com a minha didática conseguirá finalmente aprender Matemática e Raciocínio Lógico.

Aprenda com quem sabe ensinar!

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Aula ao vivo - Estudo do Condicional

Lista com os exercícios abordados na aula de hoje:

01)  (Banco do Brasil) A proposição: Se x é um número par, então y é um número primo, é equivalente à proposição: Se y não é um número primo, então x não é um número par.

GABARITO:  CERTO

02)  (Professor de Matemática – Teresópolis – RJ / 2011) Se Alvinho mentiu, então Alvinho foi reprovado. Assim:
(A) se Alvinho não mentiu então não foi reprovado;
(B) se Alvinho foi reprovado então Alvinho não mentiu;
(C) Alvinho mentiu ou foi reprovado;
(D) se Alvinho foi reprovado então Alvinho mentiu;
(E) se Alvinho não foi reprovado, então Alvinho não mentiu.

GABARITO:  E

03)  (Combatentes – CBMERJ – FUNCEFET/2014)  Dizer que “Se Aroldo é diretor, então Júlio não é chefe" é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:

GABARITO:  Se Júlio é chefe, então Aroldo não é diretor.

04)  (Combatentes – CBMERJ – FUNCEFET/2014)  A seguinte sentença: “Se Fabiana usa batom vermelho, então ela é linda" é logicamente equivalente a:

GABARITO:  Se Fabiana não é linda, então não usa batom vermelho.

05)  (Combatentes – CBMERJ – FUNCEFET/2014)  Uma sentença logicamente equivalente a “Se Roberto é carioca, então ele é trabalhador" é:

GABARITO:  Se Roberto não é trabalhador, então não é carioca.

06)  (Combatentes – CBMERJ – FUNCEFET/2014)  Dizer que “Roberto é médico ou Paulo não é professor" é logicamente equivalente a dizer que:

a)          Roberto não é médico e Paulo é professor.

b)          Se Paulo é professor, então Roberto não é médico.

c)           Roberto é médico e Paulo não é professor.

d)          Se Roberto é médico, então Paulo não é professor.

e)          Se Roberto não é médico, então Paulo não é professor.

GABARITO:  Se Roberto é médico, então Paulo não é professor.

07)  (Ministério do Planejamento ─ ESAF/2006)  Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer:

a) se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.

b) se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.

c) se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.

d) se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.

e) se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.

GABARITO:  C

08)  (FUNASA / Cesgranrio / 2009) Se Marcos levanta cedo, então Júlia não perde a hora. É possível sempre garantir que:
(A) se Marcos não levanta cedo, então Júlia perde a hora.
(B) se Marcos não levanta cedo, então Júlia não perde a hora.
(C) se Júlia perde a hora, então Marcos levantou cedo.
(D) se Júlia perde a hora, então Marcos não levantou cedo.
(E) se Júlia não perde a hora, então Marcos levantou cedo.

GABARITO:  D

09)  (Auditor-Fiscal da Receita Federal – ESAF/2012)  A afirmação “A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente:

a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.

b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.

c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.

d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.

e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.

GABARITO:  C

10)  (SEPLAG – MG – Banca IBFC/2012)  A proposição composta que é equivalente à proposição “ Se Marcos está feliz, então Mara foi à escola” é:

a) Marcos está feliz ou Mara não foi à escola.

b) Marcos não está feliz ou Mara foi à escola.

c) Marcos não está feliz ou Mara não foi à escola.

d) Marcos não está feliz se, e somente se, Mara foi à escola.

GABARITO:  B

11)  (Fundação HEMOMINAS – IBFC)  Paulo trabalha  ou  Marcos  joga  futebol  equivale logicamente a dizer que:

a) Se Paulo não trabalha, então Marcos joga futebol.

b) Paulo trabalha e Marcos não joga futebol.

c) Paulo trabalha se, e somente se, Marcos joga futebol.

d) Se Paulo não trabalha, então Marcos não joga futebol.

GABARITO:  A

12)  (Banco da Amazônia – CESGRANRIO/2014)  Considere a seguinte afirmação:

Jorge se mudará ou Maria não será aprovada no concurso.

Tal afirmação é logicamente equivalente à afirmação:

(A) Se Maria não for aprovada no concurso, então Jorge se mudará.

(B) Se Maria for aprovada no concurso, então Jorge não se mudará.

(C) Se Maria for aprovada no concurso, então Jorge se mudará.

(D) Jorge não se mudará ou Maria será aprovada no concurso.

(E) Jorge se mudará se, e somente se, Maria não for aprovada no concurso.

GABARITO:  C

13)  (CAIXA/2014) Considerando a proposição “Se Paulo não foi ao banco, ele está sem dinheiro”, julgue os itens a seguintes.

I. A negação da referida proposição pode ser expressa pela proposição “Paulo não foi ao Banco e ele não está sem dinheiro".

II. A proposição em apreço equivale à proposição Paulo foi ao banco e está sem dinheiro.

III. A proposição considerada equivalente à proposição “Paulo não está sem dinheiro, ele foi ao banco”.

GABARITO:  C – E – C

Prof. Bruno Leal Resolve - XC - Questões da VUNESP e CESGRANRIO

01)  (Banca Vunesp/2014)  Pedro e Vítor trabalham como empacotadores em uma firma de transporte. Para pacotes simples, Pedro embrulha, por hora, 4 unidades a mais do que Vítor. Cada um deve embrulhar 72 pacotes simples e sabe-se que Pedro irá terminar esse trabalho 1,5 h antes que Vítor. O número de pacotes simples que os dois juntos conseguem embrulhar, por hora, é igual a:

(A) 24.  (B) 26.   (C) 28.   (D) 30.  (E) 32.

Solução:  Vítor embrulha x pacotes por hora e gasta y horas para terminar o serviço.  Temos que xy = 72.

Pedro embrulha (x + 4) pacotes por hora e gasta (y – 1,5) horas para terminar o serviço.  Daí, vem que (x + 4)(y – 1,5) = 72 → xy – 1,5x + 4y – 6 = 72 → como xy = 72, podemos cancelá-los entre si → 4y – 1,5x = 6 → isolando y, temos:  4y = 6 + 1,5x.

Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 4, vem:  4xy = 288 → x . (6 + 1,5x) = 288 → 6x + 1,5x² = 288 → dividindo todos os termos por 1,5 → x² + 4x – 192 = 0 → x = 12.

Logo, Pedro embrulha 12 + 4 = 16 pacotes por hora e ambos, 12 + 16 = 28.

GABARITO:  C

02)  (Banca Vunesp/2014)  Seja a sequência dos números naturais pares entre 1 e 777.   O número de algarismos necessários para escrever todos os  números dessa sequência é igual a

(A) 776.

(B) 1111.

(C) 1777.

(D) 1888.

(E) 2223.

Solução:  1)  Números de 1 algarismo:  2, 4, 6 e 8 → 4 números que utilizam 4 x 1 = 4 algarismos para serem escritos;

2)  Números de 2 algarismos:  10 a 98 → há (98 – 10) : 2 + 1 = 45 números que utilizam 45 x 2 = 90 algarismos;

3)  Números de 3 algarismos:  100 a 776 → há (776 – 100) : 2 + 1 = 339 números que utilizam 339 x 3 = 1017 algarismos;

4)  Total:  4 + 90 + 1017 = 1111 algarismos.

GABARITO:  B

03)  (Oficial – PM – Vunesp/2014)  A função f: R → R, dada por f(x) = ax² – 16x + c, tem um valor máximo e admite duas raízes reais e  iguais. Nessas condições, e sabendo-se que c = a, é correto afirmar que o par ordenado que representa o vértice dessa parábola é:

(A) (–2,0).

(B) (–1,0).

(C) (1,0).

(D) (2,0).

(E) (3,0).

Solução:  Se f admite um valor máximo, então a < 0.  Como admite duas raízes reais e iguais, então o discriminante delta = 0.  Como c = a, temos:  b² – 4 . a . c = 0 → (– 16)² – 4a² = 0 → 256 = 4a² → 64 = a² → a =  → a = – 8.

A abscissa do vértice da parábola é dada por x_v = –b / 2a → 16 / 2.( – 8) → x_v = – 1, enquanto para encontrarmos a ordenada do vértice basta substituir na lei de formação da função a variável x por – 1.

Sendo assim, temos:  f(–1) = –8 . (–1)² – 16 . (–1) – 8 → – 8 + 16 – 8 = 0.

GABARITO:  B

04)  (Petrobras – Cesgranrio/2014)  Para embalar cada um dos sabonetes artesanais que produz, Sofia utiliza um pedaço de papel cuja área corresponde a 4/3 da superfície total do sabonete, que tem a forma de um paralelepípedo retângulo de 6 cm de comprimento, 4,5 cm de largura e 2 cm de altura.  Qual é, em cm², a área do pedaço de papel?

(A) 32

(B) 64

(C) 72

(D) 88

(E) 128

Solução:  Sendo a, b e c os lados do paralelepípedo, sua área é dada por 2.(ab + ac + bc). 

Portanto a área do sabonete é 2 . (6 . 4,5 + 6 . 2 + 4,5 . 2) = 2 . 48 = 96 cm².

Logo, a área do papel é 4/3 . 96 = 128 cm².

GABARITO:  E

05)  (Petrobras – Cesgranrio/2014)    Os irmãos Ana e Luís ganharam de seus pais quantias iguais. Ana guardou 1/6 do que recebeu e gastou o restante, enquanto seu irmão gastou 1/4 do valor recebido, mais R$ 84,00.

Se Ana e Luís gastaram a mesma quantia, quantos reais Ana guardou?

(A) 12,00

(B) 24,00

(C) 72,00

(D) 132,00

(E) 144,00

Solução:  Seja x a quantia recebida por ambos.  Ana gastou x – x/6 = 5x/6 enquanto que Luís gastou x/4 + 84.  Como as quantias gastas são iguais, podemos escrever que 5x/6 = x/4 + 84 → multiplicando todos os termos por mmc(6,4) = 12 → 10x = 3x + 84 . 12 → 7x = 84 . 12 → simplificando o 84 com o 7 → x = 12 . 12 = 144.

Cuidado, pois esta não é a resposta!  Queremos o valor de x/6, que é 144/6 = 24.

GABARITO:  B

06)  (IBGE – Cesgranrio/2013)  Sabendo que 2014 e 2015 não são anos bissextos e que o dia 8 de dezembro de 2013 foi um domingo, então o dia 9 de dezembro de 2015 será

(A) sábado

(B) domingo

(C) segunda-feira

(D) terça-feira

(E) quarta-feira

Solução:  Num ano não bissexto, os dias 1/1 e 31/12 caem no mesmo dia da semana.  Sendo assim, 8/12/2014 cai numa segunda-feira, 8/12/2015 cai numa terça e sendo assim, 9/12/2015 cai numa quarta-feira.

GABARITO:  E

07)  (IBGE – Cesgranrio/2013)  Uma turma possui sete alunos. Portanto, dizer que, no mínimo, três alunos da turma serão aprovados, é logicamente equivalente a se dizer que

(A) no máximo, quatro alunos da turma não serão aprovados.

(B) no máximo, dois alunos da turma não serão aprovados.

(C) um ou dois alunos da turma não serão aprovados.

(D) quatro alunos da turma não serão aprovados.

(E) dois alunos da turma não serão aprovados.

Solução:  Letra A.

GABARITO:  A

Prof. Bruno Leal Resolve - LXXXIX

(Petrobras – Cesgranrio/2014)  Em um centro de pesquisa trabalham 30 pesquisadores, dos quais 14 são biólogos. O diretor comunicou aos pesquisadores que três deles seriam escolhidos para participar de um congresso.

Considerando-se que a escolha seja feita de forma aleatória, qual a probabilidade de que exatamente dois biólogos sejam escolhidos?

Solução:  1)  O total de maneiras de se escolher 3 dentre 30 pesquisadores é dado por C_30,3 = 30 . 29 . 28 / 3 . 2 . 1 = 5 . 29 . 28 = 4060;

2)  O total de maneiras de se formar um grupo com 2 biólogos e 1 “não biólogo” (note que há no grupo 30 – 14 = 16 não biólogos) é dado por C_14,2 . 16 → 7 . 13 . 16 = 1456;

3)  A probabilidade pedida é portanto 1456 / 4060 = 52 / 145, simplificando por 28 ambos os termos da fração.

GABARITO:  52/145

Prof. Bruno Leal Resolve - LXXXVIII

[Verdades e Mentiras]  (SUDENE – FGV/2013)  Alberto, Bernardo e Camilo trabalham em uma obra. Um deles é eletricista, outro é marceneiro e outro pintor, não necessariamente nessa ordem. Quando o novo supervisor perguntou sobre suas qualificações eles disseram:
• Alberto: — Eu sou eletricista.
• Bernardo: — Alberto não é marceneiro.
• Camilo: — Bernardo não é pintor.

Sabe‐se que das três declarações acima, somente uma é verdadeira.
É correto concluir que
(A) Camilo é eletricista.
(B) Bernardo é marceneiro.
(C) Alberto é eletricista.
(D) Camilo é pintor.
(E) Bernardo disse a verdade.

Solução:  1)  Vamos SUPOR que Alberto é o ÚNICO que fala a verdade.  Nesse caso, ele seria eletricista.

Só que Bernardo também estaria dizendo a verdade, pois nesse cenário Alberto não é o marceneiro. 

Contradição, pois estamos supondo apenas o Alberto dizendo a verdade.  Concluímos que Alberto mentiu e portanto NÃO é eletricista.

2)  Vamos SUPOR que Bernardo é o ÚNICO que fala a verdade.  Assim, Alberto não é marceneiro, nem eletricista (como vimos acima), sendo portanto o pintor.  Logo, Bernardo não é o pintor.
Só que Camilo estaria dizendo a verdade também, contradizendo a hipótese de ser o Bernardo o único a dizer a verdade.  Logo, Bernardo mentiu e Alberto é o marceneiro.

3)  Podemos afirmar com certeza que Camilo disse a verdade.  Logo, Bernardo não é nem pintor nem marceneiro, sendo o eletricista.  Camilo é, pois, o pintor.

GABARITO:  D

Prof. Bruno Leal Resolve - LXXXVII - Diversas questões da Fundação Getúlio Vargas!

01.  (TCE – BA – FGV/2013)  Um aquário tem a forma de um paralelepípedo reto com altura medindo 60 cm e com base retangular de dimensões 80 cm e 60 cm. Esse aquário contém água até a altura de 40 cm.

Coloca‐se dentro do aquário um bloco de pedra, também com a forma de um paralelepípedo reto de base retangular, com dimensões de 16 cm, 20 cm e 30 cm.

Com base nas informações acima, é correto afirmar que o nível da água no aquário subiu

(A) 1 cm.

(B) 2 cm.

(C) 3 cm.

(D) 4 cm.

(E) 5 cm.

Solução:  O volume inicial de água do aquário é 80 x 60 x 40 = 192000 cm³.  O volume da pedra é 16 x 20 x 30 = 9600 cm³.  Portanto, o volume do conjunto água + pedra = 192000 + 9600 = 201600 cm³.

Sendo h o novo nível da água, temos que 80 x 60 x h = 201600 → h = 42 cm.  Logo, o nível da água subiu 42 – 40 = 2 cm.

GABARITO:  B

02.  (TCE – BA – FGV/2013)  Carlos tem duas calças jeans que ele usa para ir trabalhar. Uma das calças é desbotada e a outra não. Carlos gosta igualmente das duas calças. Entretanto, por preguiça de tirar o cinto da calça que usou em determinado dia e colocar na outra, é duas vezes mais provável que ele use, no dia seguinte, a mesma calça que usou em determinado dia do que use a outra calça.  Hoje, Carlos usou a calça desbotada.  A probabilidade de Carlos usar a mesma calça desbotada depois de amanhã é de:

Solução:  1º)  A probabilidade de que ele NÃO use no dia seguinte a mesma calça que usou hoje é p, e a probabilidade de que ele use a mesma calça amanhã é 2p.  Como p + 2p = 1, temos que 3p = 1 → p = 1/3 e 2p = 2/3.

2º)  Lembrando que hoje ele usou a calça desbotada, a probabilidade de que ele use a calça desbotada amanhã e depois de amanhã é 2/3 x 2/3 = 4/9;

3º)  A probabilidade de que ele use amanhã a calça não desbotada e depois de amanhã, a desbotada, é 1/3 x 1/3 = 1/9;

4º)  A probabilidade pedida é, pois:  4/9 + 1/9 = 5/9.

GABARITO:  5/9

03.  (TCE – BA – FGV/2013)  João caminhava de sua casa para o colégio quando, em um determinado ponto, resolveu voltar a casa e pegar sua bicicleta para ir para o colégio. De bicicleta João vai a uma velocidade que é 5 vezes a velocidade com que caminha.

Ao final, para voltar a casa caminhando e ir de bicicleta até o colégio João gastou exatamente o mesmo tempo que levaria se continuasse caminhando de onde estava até o colégio.

A razão entre a distância que João caminhou de volta até sua casa para a distância total de sua casa até o colégio é:

Solução:  Seja d a distância da casa ao colégio, v, a velocidade caminhando e t, o tempo gasto para ir da casa ao colégio caminhando.  Lembre-se que d = v . t → t = d/v.

Ele caminhou uma certa distância x, voltou para casa percorrendo a mesma distância x caminhando, com velocidade v e finalmente percorreu de bicicleta a distância d, com velocidade 5v.

Ele gastou um tempo t₁ para percorrer a distância x + x = 2x com velocidade v.  Temos que 2x = v . t₁ → t₁ = 2x / v.

Ele gastou um tempo t₂ para percorrer a distância d com velocidade 5v.  Temos que d = 5v . t₂ → t₂ = d / 5v.

Como t₁ + t₂ = t, 2x/v + d/5v = d/v → multiplicando todos os termos por 5 → 10x + d = 5d → 10x = 4d → x/d = 4/10 = 2/5.

GABARITO:  2/5

04.  (Agente Penitenciário – Maranhão – FGV/2013)  Os agentes penitenciários Carlos, Jorge, Fabio, Antonio e Guilherme fizeram exame médico e verificaram que possuem pesos diferentes. Carlos disse que é mais leve que Fábio, mas é mais pesado que Antônio. Guilherme afirma que só um dos outros agentes é mais pesado que ele. Antônio disse que ele não é o mais leve dos cinco.

Suponhamos que todos disseram a verdade.

Fazendo uma fila com esses cinco agentes, ordenando do mais leve para o mais pesado, é verdade que

(A) Jorge é o segundo da fila.

(B) Guilherme está na frente de Carlos.

(C) Carlos tem três pessoas à sua frente.

(D) Antonio é o terceiro da fila.

(E) Fabio é o quinto da fila.

Solução:  1)  Carlos disse que é mais leve que Fábio, mas é mais pesado que Antônio:  A < C < F.

2)  Guilherme afirma que só um dos outros agentes é mais pesado que ele:  Ele é o penúltimo da fila.

3)  Antônio disse que ele não é o mais leve dos cinco:  alguém é mais leve do que ele.  Como nada foi dito acerca de Jorge, só pode ser este o mais leve.

De acordo com as informações 1) e 2), podemos escrever que J < A < C < G < F.

GABARITO:  E

05.  (Agente Penitenciário – Maranhão – FGV/2013)  Manoel e Francisco trabalham juntos em uma empresa. Toda semana, há uma reunião social de confraternização entre os funcionários da empresa à qual nem sempre um dos dois comparece. Entretanto, é sempre verdade que:

“Se Manoel comparece à reunião então Francisco não comparece.”

Esta afirmação é equivalente a:

(A) Se Francisco comparece à reunião então Manoel não comparece.

(B) Manoel não comparece à reunião ou Francisco comparece.

(C) Se Manoel não comparece à reunião então Francisco comparece.

(D) Manoel comparece à reunião e Francisco não comparece.

(E) Se Francisco não comparece à reunião então Manoel comparece.

Solução:  O condicional p → q é equivalente a ~q → ~p, ou seja, a afirmação é equivalente a Se Francisco comparece à reunião então Manoel não comparece.

GABARITO:  A

06.  (Agente Penitenciário – Maranhão – FGV/2013)  O pátio interno de um presídio tinha uma forma retangular.  Devido a uma reforma para aumentar o número de células carcerárias do presídio, esse pátio sofreu uma redução de 25% em cada uma de suas dimensões, mantendo a forma retangular.  A área desse pátio sofreu uma redução de aproximadamente:

(A) 25%.

(B) 32%.

(C) 44%.

(D) 50%.

(E) 52%.

Solução:  Sendo as dimensões originais b e h, a área original é b . h.  As novas dimensões são 0,75.b e 0,75.h, sendo a nova área 0,75 . b . 0,75 . h = 0,5625 . b. h.  Logo, a redução foi de b.h – 0,5625 b.h = 0,4375 b.h, aproximadamente 44%.

GABARITO:  C

07.  (Agente Penitenciário – Maranhão – FGV/2013)  Considere a sentença:

“Todo agente penitenciário é do sexo masculino”.

Um contraexemplo para essa sentença é:

(A) João, que é do sexo masculino e não é agente penitenciário.

(B) Maria, que é do sexo feminino e não é agente penitenciário.

(C) Miguel, que é do sexo masculino e é agente penitenciário.

(D) Amanda, que é do sexo feminino e é agente penitenciário.

(E) Débora, que não é do sexo masculino e não é agente penitenciário.

Solução:  Um contraexemplo é uma exceção a uma hipótese geral, ou seja, é um caso particular que falsifica uma quantificação universal do tipo todo X é um Y.  Sendo assim, a letra D é um contraexemplo pois derruba a veracidade da sentença.

GABARITO:  D

08.  (Agente Penitenciário – Maranhão – FGV/2013)   Considere a afirmação: “Hoje faço prova e amanhã não vou trabalhar”.

A negação dessa afirmação é:

(A) Hoje não faço prova e amanhã vou trabalhar.

(B) Hoje não faço prova ou amanhã vou trabalhar.

(C) Hoje não faço prova então amanhã vou trabalhar.

(D) Hoje faço prova e amanhã vou trabalhar.

(E) Hoje faço prova ou amanhã não vou trabalhar.

Solução:  A negação da conjunção p e q é ~p ou ~q.  Logo, a negação pedida está na alternativa B.

GABARITO: B

09.  (SUDENE – FGV/2013)  O time de João jogou 22 vezes no primeiro semestre deste ano.  O time de João ganhou 2 jogos a mais que perdeu e empatou 3 jogos a menos que ganhou.  O número de jogos que o time de João venceu foi:

(A) 7.

(B) 8.

(C) 9.

(D) 10.

(E) 11.

Solução:  Sendo o número de vitórias, empates e derrotas simbolizados por v, e e d respectivamente, temos:

1)  v + e + d = 22

2)  v = d + 2

3)  v – 3 = e → da segunda equação temos → d + 2 – 3 = e → d – 1 = e.

Substituindo v e e em função de d na primeira equação vem:  d + 2 + d – 1 + d = 22 → 3d = 21 → d = 7.

Portanto, v = 7 + 2 = 9.

GABARITO:  C

10.  (SUDENE – FGV/2013)  Considere a afirmação:

“Carne com gordura não é saudável.”

Uma afirmativa que tem o mesmo significado da acima é:

(A) Carne sem gordura é saudável.

(B) Carne não saudável tem gordura.

(C) Carne saudável não tem gordura.

(D) Carne saudável pode ter gordura.

(E) Carne, ou não tem gordura ou é saudável.

Solução:  Podemos interpretar a afirmação como um condicional, da forma “Se uma carne tem gordura, então não é saudável”.   Este condicional é equivalente a “Se uma carne é saudável, então não tem gordura”.

GABARITO:  C

Prof. Bruno Leal Resolve - LXXXVI - Diversas questões da EEAR

01)  (EEAR/2012)  Dos 10 judocas que participam de uma competição, os 3 melhores subirão em um pódio para receber uma premiação. Lembrando que cada atleta pode ocupar o 1º, 2º ou 3º lugar no pódio, o número das possíveis formas de os atletas comporem o pódio é

a) 720. b) 680. c) 260. d) 120.

Solução:  O primeiro lugar pode ser qualquer um dos 10 judocas, o segundo, qualquer um dos 9 restantes enquanto que o terceiro, qualquer um dos outros 8.

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, há 10 x 9 x 8 = 720 pódios possíveis.

GABARITO:  A

02)  (EEAR/2012)  Se a sequência (x, 3x+2, 10x+12) é uma PG de termos não nulos, então x² é

a) 1.       b) 4.       c) 9.       d) 16.

Solução:  Se três consecutivos estão em PG, então “o do meio” é a média geométrica dos outros dois, ou seja, (3x + 2)² = x . (10x + 12) → 9x² + 12x + 4 = 10x² + 12x → x² = 4.

GABARITO:  B

03)  (EEAR/2012)  Se as retas r e s são perpendiculares, e a equação de s é 2y + x – 2 = 0, o coeficiente angular m_r da reta r é

a) –1.    b) 1.       c) 2.       d) 3.

Solução:  Duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coeficientes angulares for igual a – 1.  O coeficiente angular de uma reta na forma geral ax + by + c = 0 é dado por –a/b.  Logo, o coeficiente angular de s é dado por -1/2.

Logo, m_r . (-1/2) = -1 → m_r = 2.

GABARITO:  C

04)  (EEAR/2012)  Dada a função f:  ℜ₊ → ℜ* f definida por f(x)= 5.log₂ x, o valor de f(1) + f(2) é

a) 3.       b) 5.       c) 6.       d) 10.

Solução:  1º)  f(1) = 5 . log₂ 1 → 5 . 0 = 0;

2º)  f(2) = 5 . log₂ 2 → 5 . 1 = 5;

Portanto, 0 + 5 = 5.

GABARITO:  B

05)  (EEAR/2012)  Se os pontos (1, –a), (2, 3) e (–1, –3) estão alinhados, o valor de a é

a) –2.    b) –1.    c) 3.       d) 4.

Solução:  1º)  Vamos encontrar a equação da reta r que passa por (2,3) e (–1, –3).  Ela tem a forma reduzida y = mx + n.

(2,3) pertence à r:  3 = m . 2 + n → 2m + n = 3

(–1, –3) pertence à r:  –3 = a . (–1) + b → –m + n = – 3

Resolvendo o sistema, temos m = 2 e n = – 1.  Logo, y = 2x – 1.

2º)  O ponto (1, –a) pertence à r também, portanto, –a = 2 . 1 – 1 → –a = 1 → a = – 1.

GABARITO:  B

Prof. Bruno Leal Resolve - LXXXV - Diversas questões recentes de diferentes bancas!

01.  [O Primeiro Grau]  (IBGE – CESGRANRIO/2014)  Um grupo de cinco amigos vai jogar cartas e, no jogo escolhido, apenas quatro podem dele participar. Desse  modo, a mesa de jogo se reveza com todos os grupos possíveis formados por quatro dentre as cinco pessoas  presentes. As somas das idades das pessoas sentadas à mesa varia a cada rodada:

1ª  Rodada – soma 122

2ª  Rodada – soma 136

3ª  Rodada – soma 142

4ª  Rodada – soma 149

5ª  Rodada – soma 155

Qual a idade do mais velho do grupo de amigos?

(A) 48

(B) 68

(C) 54

(D) 66

(E) 62

Solução:  Indicando por a, b, c, d e e as 5 idades e lembrando que a cada rodada um dos 5 fica de fora, podemos montar as seguintes equações:

a + b + c + d = 122

a + b + c + e = 136

a + b + d + e = 142

a + c + d + e = 149

b + c + d + e = 155

Note que, nas 5 equações, todas as incógnitas apareceram a mesma quantidade de vezes, 4.  Adicionando as 5 equações temos:

4a + 4b + 4c + 4d + 4e = 704 → dividindo todas as parcelas e a soma por 4, temos:  a + b + c + d + e = 176.

Como a + b + c + d = 122, vamos substituir este valor na equação que acabamos de encontrar, obtendo:  122 + e = 176 → e = 54 anos, sendo este com certeza o mais velho, pois, das 5 somas apresentadas, a primeira é que apresenta a maior diferença com relação ao 176, que é a soma dos 5 amigos.

GABARITO:  C

02.  [Negação]  (IBGE - CESGRANRIO/2014)  A respeito de um pequeno grupo indígena, um repórter afirmou: “todos os indivíduos do grupo têm pelo menos 18 anos de idade”. Logo depois, descobriu-se que a afirmação a respeito da idade dos indivíduos desse grupo não era verdadeira.

Isso significa que

(A) todos os indivíduos do grupo têm mais de 18 anos de idade.

(B) pelo menos um indivíduo do grupo tem menos de 17 anos de idade.

(C) todos os indivíduos do grupo têm menos de 18 anos de idade.

(D) pelo menos um indivíduo do grupo tem mais de 18 anos de idade.

(E) pelo menos um indivíduo do grupo tem menos de 18 anos de idade.

Solução:  A negação de "Todo A é B" é "Pelo menos um A não é B".  Sendo assim, a resposta certa é a letra (E).  Note que o examinador tenta nos confundir colocando na mesma proposição os termos "todos" e "pelo menos".

03.  [Negação]  (Professor de Matemática - AM - MS Concursos/2014)  Dizer que a afirmação “todas as crianças são saudáveis” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) pelo menos uma criança não é saudável.

b) nenhuma criança é saudável.

c) nenhuma pessoa saudável é criança.

d) pelo menos uma pessoa saudável não é criança.

e) todas as pessoas não saudáveis não são crianças.

Solução:  Lembre-se que a negação de "Todo A é B" é "Pelo menos um A não é B". 

GABARITO:  A

04.  [Raciocínio Lógico]  (Professor de Matemática - AM - MS Concursos/2014)  Sabe-se que existe pelo menos um cachorro que é bravo. Sabe-se, também, que todo animal bravo é perigoso. Segue-se, portanto, necessariamente que:

a) Todo animal perigoso é bravo.

b) Todo animal perigoso é cachorro.

c) Algum cachorro é perigoso.

d) Nenhum animal que não seja perigoso é cachorro.

e) Algum cachorro não é perigoso.

Solução:  Se há no mínimo um cachorro bravo e todo animal bravo é perigoso, a resposta certa é a letra C.

05.  [Médias]  (Professor de Matemática - AOCP/2014)  Paulo tirou a média aritmética de 7 números inteiros não negativos, não nulos e distintos, obtendo o resultado de 26. Qual é o maior valor possível de um desses números?

(A)    182

(B)    161

(C)    141

(D)    42

(E)    21

Solução:  Os menores valores possíveis dos outros 6 números são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.  Sendo x o sétimo número, podemos escrever que (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + x) / 7 = 26 → 21 + x = 182 → x = 161.

GABARITO:  B